超难概率题
边长为1的立方体随机出现在已知平面上空，求立方体投影在平面上多边形的面积的期望。不用管立方体的位置了，要管它倾斜成任何角度投影到平面的面积的平均值大家有没有简单捷径方法？我想了半天终于有积分的思路了，要求一个有史以来式子最长的三重积分:L
补充内容 (2015-8-24 09:57):
既然立方体让大家投机取巧了，我不服气，现在将立方体改成边长1的正四面体。我的积分公式也得出了一个好看的答案，坐等大家投机的方法与答案
补充内容 (2015-8-24 13:45):
如果算正四面体还不过瘾，算算圆柱体，圆锥体……
补充内容 (2015-8-24 13:46):
好吧，其实我发现了个天大的秘密。可以快速算任何凸立体的投影平均面积了
补充内容 (2015-8-24 18:56):
我发现的定律是：任何凸多面体，包括任何凸曲面体，在平面投影的面积的期望是这个体表面积的四分之一！ 由于凹立体会出现四层面叠在一起的情况，不满足这个定律了。
也许前人早发现了，我就又悲剧了。 空间立体自由度为6吧，你所谓的“随机”是怎么定义的？ 只要算一个面投影的期望，然后乘6除2即可 平行投影可见面 从1到3，重叠的其实是背面被遮挡直接忽略。如mathe说的一个面投影的期望的3倍 这个问题太对称太简单了，将立方体改成边长为1的正四面体，问题是不是变得超复杂了 倪举鹏 发表于 2015-8-24 08:38
这个问题太对称太简单了，将立方体改成边长为1的正四面体，问题是不是变得超复杂了
明白mathe除2的道理了。
投影面的法线与凸多面体相交有两种情况：
直线在多面体的某一个面所在平面内，和于多面体“相切”，于是此面投影为0。
直线穿过多面体，由于“凸”的特性。必然是两次穿过平面。
因此，凸多面体的平均投影面积就是总表面的…………
等等1/2怎么算的？我算出$2/Pi$ 一个平面几何图形正投影到另外一个平面，投影面积为原面积乘上两平面夹角的余弦值。
所以本题中我们需要计算法向量和投影平面正弦值绝对值的期望。显然用球面坐标非常容易。计算出来好像是1/2 所以球投影面积也是自身表面积的四分之一 这算是emath的陈题了，mathe竟然没印象了，:lol
http://bbs.emath.ac.cn/thread-5104-1-1.html 我浪费了一天多时间，积分了立方体，四面体，更一般的四面体，发现全部是表面积的四分之一，（而且看着积分式子最终都是各个面面积的和，单独积分它每一项，发现积分出来的结果刚好都是每个对应面的四分之一）突然一想连球也是投影面积是他表面积的四分之一。才想到，任何凸立体都是投影面积占表面积的四分之一。
有一个巧妙的想法：随机取凸体的一个表面面积元，这个面积元可以是一个平面的小矩形，这个小平面面积元的法线向空间任何方向的概率是相等的，积分这个小面积元，算出它的投影面积是本身面积的二分之一，（其实可以积分发现所有平面形状投影都是本身面积的二分之一）所以这个凸体表面的所有小面积元投影都是二分之一，所以投影总面积也是表面积的二分之一。为什么结果是四分之一呢，由于凸体无论怎么翻转，他的表面积都是叠了2层再投影下来的，就是还要除以2.结果就是四分之一了
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