超难概率题

倪举鹏

边长为1的立方体随机出现在已知平面上空，求立方体投影在平面上多边形的面积的期望。不用管立方体的位置了，要管它倾斜成任何角度投影到平面的面积的平均值

大家有没有简单捷径方法？我想了半天终于有积分的思路了，要求一个有史以来式子最长的三重积分




补充内容 (2015-8-24 09:57):
既然立方体让大家投机取巧了，我不服气，现在将立方体改成边长1的正四面体。我的积分公式也得出了一个好看的答案，坐等大家投机的方法与答案

补充内容 (2015-8-24 13:45):
如果算正四面体还不过瘾，算算圆柱体，圆锥体……

补充内容 (2015-8-24 13:46):
好吧，其实我发现了个天大的秘密。可以快速算任何凸立体的投影平均面积了

补充内容 (2015-8-24 18:56):
我发现的定律是：任何凸多面体，包括任何凸曲面体，在平面投影的面积的期望是这个体  表面积的  四分之一！ 由于凹立体会出现四层面叠在一起的情况，不满足这个定律了。
也许前人早发现了，我就又悲剧了。

aimisiyou

空间立体自由度为6吧，你所谓的“随机”是怎么定义的？

mathe

只要算一个面投影的期望，然后乘6除2即可

zeroieme

平行投影可见面 从1到3，重叠的其实是背面被遮挡直接忽略。如mathe说的一个面投影的期望的3倍

倪举鹏

这个问题太对称太简单了，将立方体改成边长为1的正四面体，问题是不是变得超复杂了

zeroieme

倪举鹏 发表于 2015-8-24 08:38
这个问题太对称太简单了，将立方体改成边长为1的正四面体，问题是不是变得超复杂了

明白mathe除2的道理了。

投影面的法线与凸多面体相交有两种情况：
直线在多面体的某一个面所在平面内，和于多面体“相切”，于是此面投影为0。
直线穿过多面体，由于“凸”的特性。必然是两次穿过平面。

因此，凸多面体的平均投影面积就是总表面的…………
等等1/2怎么算的？我算出$2/Pi$

mathe

一个平面几何图形正投影到另外一个平面，投影面积为原面积乘上两平面夹角的余弦值。
所以本题中我们需要计算法向量和投影平面正弦值绝对值的期望。显然用球面坐标非常容易。计算出来好像是1/2

倪举鹏

所以球投影面积也是自身表面积的四分之一

wayne

这算是emath的陈题了，mathe竟然没印象了，
http://bbs.emath.ac.cn/thread-5104-1-1.html

倪举鹏

我浪费了一天多时间，积分了立方体，四面体，更一般的四面体，发现全部是表面积的四分之一，（而且看着积分式子最终都是各个面面积的和，单独积分它每一项，发现积分出来的结果刚好都是每个对应面的四分之一）突然一想连球也是投影面积是他表面积的四分之一。才想到，任何凸立体都是投影面积占表面积的四分之一。
有一个巧妙的想法：随机取凸体的一个表面面积元，这个面积元可以是一个平面的小矩形，这个小平面面积元的法线向空间任何方向的概率是相等的，积分这个小面积元，算出它的投影面积是本身面积的二分之一，（其实可以积分发现所有平面形状投影都是本身面积的二分之一）所以这个凸体表面的所有小面积元投影都是二分之一，所以投影总面积也是表面积的二分之一。为什么结果是四分之一呢，由于凸体无论怎么翻转，他的表面积都是叠了2层再投影下来的，就是还要除以2.结果就是四分之一了