星空呢，求一个恒等式
上面的根号有n重，这里只写了六重。求上式约等于的一个关于a,b,n的函数。越精确越好。类似n！有个近似计算式，也类似泰勒级数展开 设\[\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+...}}}=x\]
则有:
\[\sqrt{a+bx}=x\]
\
\
即有原式
\[=\frac{\sqrt{b^2-4a}-\sqrt{b^2+4a}}{2}\]
我认为楼主编辑有误应该为求证:
\[\frac{b}{2}+\frac{\sqrt{b^2+4a}}{2}-\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+...}}}=0\]
搜渐近级数,关于递推式的部分 本帖最后由 282842712474 于 2015-9-15 21:28 编辑
按照你的说法，应该是等价于求迭代
$$x_{n+1}=\sqrt{a+bx_n}$$
的近似通项公式而已~~其中$x_1=1$
学会表达好问题也是一门艺术... 本帖最后由 282842712474 于 2015-9-15 21:50 编辑
282842712474 发表于 2015-9-15 21:08
按照你的说法，应该是等价于求迭代
$$x_{n+1}=\sqrt{a+bx_n}$$
的近似通项公式而已~~其中$x_1=1$
为了展示，以$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$为例。选取这个例子仅仅是因为$x_n$的极限是$2$，容易表达。
我们有
$$x_{n+1}^2=2+x_n$$
也可以写成
$$(x_{n+1}-2)=\frac{1}{x_{n+1}+2}(x_n-2)$$
已经知道，$n$充分大的时候，$x_n$趋于2，因此上式近似于
$$(x_{n+1}-2)=\frac{1}{4}(x_n-2)$$
因此
$$x_n \approx 2 - \frac{1}{4^{n-1}}$$ 仿照楼上的方法：
对于楼主一般的问题：
$$x_{n+1}=\sqrt{a+bx_n}$$
的近似通项公式\(x_{n}\)其中$x_1=1$
我们可以得到：
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其中
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现在的问题是求更低阶的展开式？ 可能利用楼上的结论直接代入下面等式：
\
得到下面更精确的近似公式：
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其中
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谁有兴趣用级数展开一下？
数学星空 发表于 2015-9-15 22:32
可能利用楼上的结论直接代入下面等式：
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提高精度最直接的方法是预先计算前几项，还是以刚才那个例子为例，近似
$$(x_{n+1}-2)=\frac{1}{4}(x_n-2)$$
对越后面的$x_n$越精确。因此，预先计算前几项，让这个公式从后面几项开始即可。比如可以算得
$$x_5 = 1.9957178...$$
用这个开始，那么
$$x_n = 2 - 0.004282...\cdot\frac{1}{4^{n-5}}$$
精度会提高很多。 282842712474 发表于 2015-9-16 09:02
提高精度最直接的方法是预先计算前几项，还是以刚才那个例子为例，近似
$$(x_{n+1}-2)=\frac{1}{4}(x_n- ...
为了实现任意程度上的逼近，可以考虑使用摄动法。
首先设$x_n = 2 - y_n$，那么递推公式变成
$$y_{n+1} - \frac{1}{4}y_{n}=\frac{1}{4}y_{n+1}^2\tag{1}$$
引入人工小参数$\epsilon$：
$$y_{n+1} - \frac{1}{4}y_{n}=\frac{1}{4}\epsilon y_{n+1}^2\tag{2}$$
可以把$y_{n}$展开为$\epsilon$的幂级数。第零阶为
$$y_{n+1}|_0 - \frac{1}{4}y_{n}|_0=0$$
拟合初始条件，解得
$$y_{n}|_0=\frac{1}{4^{n-1}}$$
对$(2)$式两边求$\epsilon$的偏导数，有
$$\partial_{\epsilon}y_{n+1}|_0 - \frac{1}{4}\partial_{\epsilon}y_{n}|_0=\frac{1}{4} y_{n+1}^2|_0+\frac{1}{2}\epsilon y_{n+1}\partial_{\epsilon}y_{n+1}|_0$$
取$\epsilon=0$，就有
$$\partial_{\epsilon}y_{n+1}|_0 - \frac{1}{4}\partial_{\epsilon}y_{n}|_0=\frac{1}{4^{2n+1}}$$
解得（从第一阶开始，初始条件均为0）
$$\partial_{\epsilon}\frac{1}{4}y_{n}|_0=\frac{1}{12}\frac{1}{4^{n-1}}-\frac{1}{12}\frac{1}{16^{n-1}}$$
那么
$$y_{n}\approx \frac{1}{4^{n-1}} + \epsilon\left(\frac{1}{12}\frac{1}{4^{n-1}}-\frac{1}{12}\frac{1}{16^{n-1}}\right)$$
取$\epsilon=1$，得到
$$y_{n}\approx \frac{13}{12}\frac{1}{4^{n-1}}-\frac{1}{12}\frac{1}{16^{n-1}}$$
也就是
$$x_n\approx 2-\frac{13}{12}\frac{1}{4^{n-1}}+\frac{1}{12}\frac{1}{16^{n-1}}\tag{3}$$
$(3)$式是更为精确的近似公式。再算一阶是
$$y_{n}\approx \frac{1}{4^{n-1}} + \epsilon\left(\frac{1}{12}\frac{1}{4^{n-1}}-\frac{1}{12}\frac{1}{16^{n-1}}\right)+\frac{1}{2}\epsilon^2\left(\frac{1}{180}\frac{1}{64^{n-1}}+\frac{1}{45}\frac{1}{4^{n-1}}-\frac{1}{36}\frac{1}{16^{n-1}}\right)$$
取$\epsilon=1$，有
$$y_{n}\approx \frac{197}{180} \frac{1}{4^{n-1}}-\frac{7}{72}\frac{1}{16^{n-1}}+\frac{1}{360}\frac{1}{64^{n-1}}$$
这个过程可以一直计算下去。 下面的推理还不是太明白！
取$\epsilon=0$，就有
$$\partial_{\epsilon}y_{n+1}|_0 - \frac{1}{4}\partial_{\epsilon}y_{n}|_0=\frac{1}{4^{2n+1}}$$
解得（从第一阶开始，初始条件均为0）
$$\partial_{\epsilon}\frac{1}{4}y_{n}|_0=\frac{1}{12}\frac{1}{4^{n-1}}-\frac{1}{12}\frac{1}{16^{n-1}}$$
能否写的再清晰一些？？
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