星空呢，求一个恒等式

倪举鹏

上面的根号有n重，这里只写了六重。求上式约等于的一个关于a,b,n的函数。越精确越好。类似n！有个近似计算式，也类似泰勒级数展开

数学星空

设

\[\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+...}}}=x\]

则有:

\[\sqrt{a+bx}=x\]

\[x^2=a+bx\]

\[x=\frac{b+\sqrt{b^2+4a}}{2}\]

即有原式

\[=\frac{\sqrt{b^2-4a}-\sqrt{b^2+4a}}{2}\]

我认为楼主编辑有误应该为求证:

\[\frac{b}{2}+\frac{\sqrt{b^2+4a}}{2}-\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+...}}}=0\]

zeus

搜渐近级数,关于递推式的部分

282842712474

按照你的说法，应该是等价于求迭代
$$x_{n+1}=\sqrt{a+bx_n}$$
的近似通项公式而已~~其中$x_1=1$

学会表达好问题也是一门艺术...

282842712474

282842712474 发表于 2015-9-15 21:08
按照你的说法，应该是等价于求迭代
$$x_{n+1}=\sqrt{a+bx_n}$$
的近似通项公式而已~~其中$x_1=1$

为了展示，以$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$为例。选取这个例子仅仅是因为$x_n$的极限是$2$，容易表达。

我们有
$$x_{n+1}^2=2+x_n$$
也可以写成
$$(x_{n+1}-2)=\frac{1}{x_{n+1}+2}(x_n-2)$$
已经知道，$n$充分大的时候，$x_n$趋于2，因此上式近似于
$$(x_{n+1}-2)=\frac{1}{4}(x_n-2)$$
因此
$$x_n \approx 2 - \frac{1}{4^{n-1}}$$

数学星空

仿照楼上的方法：

对于楼主一般的问题：

$$x_{n+1}=\sqrt{a+bx_n}$$

的近似通项公式\(x_{n}\)其中$x_1=1$


我们可以得到：

\[x_{n} \approx (\frac{b}{2k})^{n-1}(1-k)+k\]

其中

\[k=\frac{b+\sqrt{b^2+4a}}{2}\]

现在的问题是求更低阶的展开式？

数学星空

可能利用楼上的结论直接代入下面等式：

\[x_{n+1}-k=\frac{b}{x_{n+1}+k}(x_n-k)\]

得到下面更精确的近似公式：

\[x_n \approx \frac{1}{(1-k)^{n-1}}\prod_{i=1}^n \frac{1}{s^i+t} +k\]

其中

\[s=\frac{b}{2k},t=\frac{2k}{1-k}\]

谁有兴趣用级数展开一下？

282842712474

数学星空 发表于 2015-9-15 22:32
可能利用楼上的结论直接代入下面等式：

\[x_{n+1}-k=\frac{b}{x_{n+1}+k}(x_n-k)\]

提高精度最直接的方法是预先计算前几项，还是以刚才那个例子为例，近似
$$(x_{n+1}-2)=\frac{1}{4}(x_n-2)$$
对越后面的$x_n$越精确。因此，预先计算前几项，让这个公式从后面几项开始即可。比如可以算得
$$x_5 = 1.9957178...$$
用这个开始，那么
$$x_n = 2 - 0.004282...\cdot\frac{1}{4^{n-5}}$$
精度会提高很多。

282842712474

282842712474 发表于 2015-9-16 09:02
提高精度最直接的方法是预先计算前几项，还是以刚才那个例子为例，近似
$$(x_{n+1}-2)=\frac{1}{4}(x_n- ...

为了实现任意程度上的逼近，可以考虑使用摄动法。
首先设$x_n = 2 - y_n$，那么递推公式变成
$$y_{n+1} - \frac{1}{4}y_{n}=\frac{1}{4}y_{n+1}^2\tag{1}$$
引入人工小参数$\epsilon$：
$$y_{n+1} - \frac{1}{4}y_{n}=\frac{1}{4}\epsilon y_{n+1}^2\tag{2}$$
可以把$y_{n}$展开为$\epsilon$的幂级数。第零阶为
$$y_{n+1}|_0 - \frac{1}{4}y_{n}|_0=0$$
拟合初始条件，解得
$$y_{n}|_0=\frac{1}{4^{n-1}}$$

对$(2)$式两边求$\epsilon$的偏导数，有
$$\partial_{\epsilon}y_{n+1}|_0 - \frac{1}{4}\partial_{\epsilon}y_{n}|_0=\frac{1}{4} y_{n+1}^2|_0+\frac{1}{2}\epsilon y_{n+1}\partial_{\epsilon}y_{n+1}|_0$$
取$\epsilon=0$，就有
$$\partial_{\epsilon}y_{n+1}|_0 - \frac{1}{4}\partial_{\epsilon}y_{n}|_0=\frac{1}{4^{2n+1}}$$
解得（从第一阶开始，初始条件均为0）
$$\partial_{\epsilon}\frac{1}{4}y_{n}|_0=\frac{1}{12}\frac{1}{4^{n-1}}-\frac{1}{12}\frac{1}{16^{n-1}}$$
那么
$$y_{n}\approx \frac{1}{4^{n-1}} + \epsilon\left(\frac{1}{12}\frac{1}{4^{n-1}}-\frac{1}{12}\frac{1}{16^{n-1}}\right)$$
取$\epsilon=1$，得到
$$y_{n}\approx \frac{13}{12}\frac{1}{4^{n-1}}-\frac{1}{12}\frac{1}{16^{n-1}}$$
也就是
$$x_n\approx 2-\frac{13}{12}\frac{1}{4^{n-1}}+\frac{1}{12}\frac{1}{16^{n-1}}\tag{3}$$

$(3)$式是更为精确的近似公式。再算一阶是
$$y_{n}\approx \frac{1}{4^{n-1}} + \epsilon\left(\frac{1}{12}\frac{1}{4^{n-1}}-\frac{1}{12}\frac{1}{16^{n-1}}\right)+\frac{1}{2}\epsilon^2\left(\frac{1}{180}\frac{1}{64^{n-1}}+\frac{1}{45}\frac{1}{4^{n-1}}-\frac{1}{36}\frac{1}{16^{n-1}}\right)$$
取$\epsilon=1$，有
$$y_{n}\approx \frac{197}{180} \frac{1}{4^{n-1}}-\frac{7}{72}\frac{1}{16^{n-1}}+\frac{1}{360}\frac{1}{64^{n-1}}$$

这个过程可以一直计算下去。

数学星空

下面的推理还不是太明白！

取$\epsilon=0$，就有
$$\partial_{\epsilon}y_{n+1}|_0 - \frac{1}{4}\partial_{\epsilon}y_{n}|_0=\frac{1}{4^{2n+1}}$$
解得（从第一阶开始，初始条件均为0）
$$\partial_{\epsilon}\frac{1}{4}y_{n}|_0=\frac{1}{12}\frac{1}{4^{n-1}}-\frac{1}{12}\frac{1}{16^{n-1}}$$

能否写的再清晰一些？？