求通解
x3-y3=z!(x,y,z为自然数） $x^3$和$y^3$在$2^64$范围内只有$1^3-0^3=0!$
和
$1^3-0^3=1!$
两解。
我猜想只有这两组解。
原因：
$(x^3-y^3)$在$N^3$的范围内只有大约$N^2$种取值，
所以$(x^3-y^3)$的取值在$N^3$附近的密度为$1/N$
现在检查到了$17!$，还没有正整数解。
而$18!$、$19!$、$20!$、$21!$、……这些值落在$(x^3-y^3)$的值域上的概率分别为
$5e-6$、$2e-6$、$7e-7$、$2e-7$、……
这些概率在以几何级数的速度锐减，越到后面越没有希望。
大致趋势是我们一旦检查$N!$，发现不成立，那么$(N+1)!$能成立的概率是$N!$成立的概率的$1/root{3}{N}$。
所以我对后面的结果不抱有希望。
除非这一系列彩票中
$5e-6$、$2e-6$、$7e-7$、$2e-7$、……
其中1张中奖了，否则就不会有解。 呵呵，fans，问一下，:victory:
你一直在翻论坛的旧底，现在进度咋样了~~ 我感觉x^2+x*y+y^2必须能分解出 非常多的小素数，2,3,5,7,11,13,而且，2,3的幂比较大才行
这个几乎不可能的 呵呵，fans，问一下，:victory:
你一直在翻论坛的旧底，现在进度咋样了~~
wayne 发表于 2010-1-22 09:26 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
一些未解决或未彻底解决的问题，再次继续讨论还是很有必要的。 有一个方案：
分解x^2+x*y+y^2，如果找到了一个最大的素数p，那么，x^3-y^3一定能被p!整除 本帖最后由 KeyTo9_Fans 于 2010-1-22 10:32 编辑
是吗？
即使最大的素数是$p$，你怎么知道2、3、5……的幂是否足够大？
何况原题只有赤裸裸的$z!$，一点也不宽松。
所以$(x^3-y^3)$能被$p!$整除只是一个必要条件吧？
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3# wayne：
呵呵，挖坟过多被发现了^_^
考虑到楼主有不少问题被无视掉，可能会感到很失望。
所以无论如何也要给个答复，即使做不出来。 7# KeyTo9_Fans
是啊，是必要条件，如果找到了 p!|x^3-y^3，那么z只可能在p和p的下一个素数之间取值~~
我感觉满足 p!|x^3-y^3 这个条件的 本身就比较少
呵呵，挖坟过多被发现了^_^
KeyTo9_Fans 发表于 2010-1-22 10:18 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
哈哈，挖坟，又俗称 盗墓
历来盗墓的人总是能满载而归~~ 盗墓是书面语，挖坟 才是俗称。:lol:lol
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