求通解

northwolves

x³-y³=z!(x,y,z为自然数）

KeyTo9_Fans

$x^3$和$y^3$在$2^64$范围内只有

$1^3-0^3=0!$

和

$1^3-0^3=1!$

两解。

我猜想只有这两组解。

原因：

$(x^3-y^3)$在$N^3$的范围内只有大约$N^2$种取值，

所以$(x^3-y^3)$的取值在$N^3$附近的密度为$1/N$

现在检查到了$17!$，还没有正整数解。

而$18!$、$19!$、$20!$、$21!$、……这些值落在$(x^3-y^3)$的值域上的概率分别为

$5e-6$、$2e-6$、$7e-7$、$2e-7$、……

这些概率在以几何级数的速度锐减，越到后面越没有希望。

大致趋势是我们一旦检查$N!$，发现不成立，那么$(N+1)!$能成立的概率是$N!$成立的概率的$1/root{3}{N}$。

所以我对后面的结果不抱有希望。

除非这一系列彩票中

$5e-6$、$2e-6$、$7e-7$、$2e-7$、……

其中1张中奖了，否则就不会有解。

wayne

呵呵，fans，问一下，

你一直在翻论坛的旧底，现在进度咋样了~~

wayne

我感觉x^2+x*y+y^2必须能分解出 非常多的小素数，2,3,5,7,11,13,而且，2,3的幂比较大才行

这个几乎不可能的

gxqcn

呵呵，fans，问一下，

你一直在翻论坛的旧底，现在进度咋样了~~
wayne 发表于 2010-1-22 09:26

一些未解决或未彻底解决的问题，再次继续讨论还是很有必要的。

wayne

有一个方案：

分解x^2+x*y+y^2，如果找到了一个最大的素数p，那么，x^3-y^3一定能被p!整除

KeyTo9_Fans

是吗？

即使最大的素数是$p$，你怎么知道2、3、5……的幂是否足够大？

何况原题只有赤裸裸的$z!$，一点也不宽松。

所以$(x^3-y^3)$能被$p!$整除只是一个必要条件吧？

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3# wayne：

呵呵，挖坟过多被发现了^_^

考虑到楼主有不少问题被无视掉，可能会感到很失望。

所以无论如何也要给个答复，即使做不出来。

wayne

7# KeyTo9_Fans


是啊，是必要条件，如果找到了 p!|x^3-y^3，那么z只可能在p和p的下一个素数之间取值~~

我感觉满足 p!|x^3-y^3 这个条件的 本身就比较少

wayne

呵呵，挖坟过多被发现了^_^
KeyTo9_Fans 发表于 2010-1-22 10:18

哈哈，挖坟，又俗称 盗墓

历来盗墓的人总是能满载而归~~

gxqcn

盗墓是书面语，挖坟 才是俗称。