hujunhua 发表于 2016-1-8 15:18:28

半球面的量子化

赶个时髦,标题党一回,其实与空间的量子化是两码事。

问:将一个半球面划分为12个全等的多边形,共有多少种图案?(两个可通过旋转重合的图案视为同一种)

我原本想问的是“将一个球面划分成24个全等的多边形,共有多少种图案”。
结果初步一列举就有无穷多种。我们不喜欢发散的结果,只好改成半球面了。

hujunhua 发表于 2016-1-8 15:29:34

对于球面的24等分,我能想到的图案都是以正多面体网为母本进一步划分的结果。

比如将正八面体网的每个三角面再用相同的方式划分成 3个 全等的三角形或者四边形。
八面体网由三个互相垂直的大圆构成,每一个都将球面剖成两个半球面。
两半球面可以沿着大圆发生相对滑动(旋转)而不破坏八面体网的三角面。
滑过的角度不同,就得到不同的八等分图案,故有无穷多种八等分图案。
以此为母本,就可衍生出无穷多的球面24等分图案。

又比如,以正方体网为母本,将其每个“正方形”在中心划一个十字而四等分,就可以将球面24等分。
这个十字可以绕十字中心交点任意旋转,不同的角度就得到不同的24分图案。故也是无穷多解。

为了消除这样产生的无穷性,我们的问题就变成半球面上的了。但愿这样真的可以消除发散!

mathe 发表于 2016-1-8 19:06:27

还是无穷多解。从北极到赤道12等分点做经线可以得到12个全等三角形。将每条经线中点用图钉固定,而再将赤道上点同侧移动相同距离(是橡皮线,可以任意拉伸),于是得到12个全等五边形

hujunhua 发表于 2016-1-11 16:06:32

问题起源于球面的三角化,约束一旦宽化为多边形,拜@mathe所赐;P ,就顿时发散不可收拾了:L。

咳,老老实实还原罢。

但是,“将一个球面划分为24个全等的三角形”的图案数,因两个半球可相对滑动(旋转)任意角度,仍然是发散的。
所以,问题还得限制在半球面上。

问:将一个半球面划分为12个全等的三角形,共有多少种图案?

不过,半球面也有两种!!!:o

半球面A就是简单的将球面一剖两半,取其上半。
半球面B即射影平面模型:对径点被视为同一点的球面。(发生了量子隧穿:P)

对于两种不同的半球面,答案显然是不同的(真的吗:Q: )。它们各是怎样的,都是有限的吗?

mathe 发表于 2016-1-11 18:39:53

看来你要的是24个中心对称分布的全等三角形。假设三个角分别为A,B,C.那么A+B+C=7/6 Pi
另外查看各个顶点上角度分布情况,可以得出顶点处有若干个A,B,C和为2Pi.而且可以看出不是所有顶点处分布相同的。穷举两个分布不同的顶点处的情况,再加上前面一个约束可以确定三个角度。
当然这种方法不包含一个三角形的顶点在另一个三角形边上的情况

hujunhua 发表于 2016-1-13 19:50:19

对于半球面B(一种射影平面模型),确实相当于在球面上24个中心对称分布的全等三角形。
显然,半球面A上的一个12等分图案可以映射为半球面B上的一个12等分图案。
反之,如果半球面B上的一个图案包括一个完整大圆,就可从此大圆剖开,退化为半球面A上的1个图案。
如果有多个完整大圆,则可能可以退化为半球面A的多个图案。
若不包含完整大圆,则不可退化为半球面A上的任何图案。

所以,我们先研究半球面B的划分。

像楼上那样做一些一般性分析是有必要的,但是我们先在正多面体网的基础上构造一些实例出来,有利于提供启示,增加信心。

hujunhua 发表于 2016-1-13 20:05:56

在正多面体网的基础上划分

1、正四面体网不是中心对称的,不用去管它。虽然它可以对称化,但有关结果应可由正方体网或正八面体网导出。
2、正方体网6个面,每个面需要划分成4个全等三角形,显然只有一种方法,就是连接对角线。
3、正八面体网每个面需要划分为3个全等三角形,有多种划分方法,衍生的图案最多。
4、正12面体网,需要把每个面划分成2个全等三角形(不可能),或者把每个面先划分为10个全等三角形后,再五五合成24个全等三角形,应该不行吧。
5、正20面体网,需要把每个面先划分为6个全等三角形后,再将五五合成24个全等三角形,与4一样的。

所以问题首先集中到正八面体网的划分。

hujunhua 发表于 2016-1-13 20:51:07

基于正八面体网的全等划分(一)

正八面体网,这个称谓是球面上的,就是一个球面被三维坐标面截为8个卦限。
在球面上共是8个面,6个顶点,12条边。
但在半球面B上,点、线、面的数量都要折半,所以实际上只有4个面,3个顶点、6条边。
这4个面是两两相邻的,好怪吧。它的投影见本帖图中左1(4个面都见到了)。

把它的一个卦面再分成 3 个全等三角形,有两种方法。
一种从中心爆破,如图中左2。
另外三种是从顶点瓜分,有3个顶点可选,故为3种方法。如图中左3,左4,右1.

这4种方法,分别标为c, o, x, y

4个卦面,每个4种划分方法,故总的划分方法不会超过64种。
64种投影图,依第1象限至第4象限的划分标记进行编号,然后再按对称等价分组,即可穷举无遗。
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