manthanein
发表于 2016-4-2 00:10:26
感谢诸位的讨论，让我们先来研究最退化的情形——四点共线吧。
mathe
发表于 2016-4-2 12:51:09
线段AB可以通过一个平移放缩再旋转变化到线段CD(其实有两个，分别将A变化为C和D.过AB任意一圆在同一变换下变化为过CD的圆，两圆交点对AB,CD张角相等或互补
mathe
发表于 2016-4-2 12:54:04
第一个圆圆心必然在AB中垂线上，可以将这个圆心位置用参数t表示，于是两圆方程一次项都是t的一次函数，常数项为t的二次函数。
mathe
发表于 2016-4-2 13:03:50
两圆方程均可看出t的二次函数，其中二次项系数不含变量x,y.一次项系数为x,y一次多项式，常数项为x,y二次多项式。从两式消取t^2可得出t可以表示为x,y一个二次多项式和一次多项式的商。然后将这个代入任何一个圆的方程消去t,即可得出关于x,y不超过4次的曲线方程
mathe
发表于 2016-4-2 13:07:08
当然由于前面几何变换有两种选择，结果为两条曲线。
mathe
发表于 2016-4-2 16:24:28
的确是两条三次曲线。这个我们只要取特殊坐标就非常容易得出。取A(-1,0),B(1,0),于是圆心取在参数点(0,t)对应圆方程$x^2+(y-t)^2-1-t^2=0$其中$t^2$项完全消除。所以t直接可以写成关于x,y一个二次多项式和一次多项式的商。而另外一个圆是这个圆的仿射变化(线性),方程同样不含$t^2$,同样可将t写成二次和一次多项式之比。消去t就得出关于x,y三次多项式