求阴影部分的面积
最近有些人来问我题目，说是初中的，可是我只会用积分或者三角函数去做，在此冒昧请教各位老大，到底能不能用普通的方法（加加减减）就能算出来呢？连接公共的弦，该弦在两个圆里构成的弓形面积都可以求出来，减之即可 本帖最后由 mathematica 于 2018-12-30 17:07 编辑
(*把正方形的四个顶点放在四个坐标轴上,原点是正方形的中心*)
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
(*先计算出两个坐标*)
out={x}/.Solve)^2==2^2,{x,y}]
out=Flatten@out
y1=Sqrt
y2=-Sqrt+Sqrt
(*积分计算面积，有两部分，所以乘以2*)
mj=2*Integrate],out[]}]
(*除以正方形面积4，再乘以a^2*)
mj2=FullSimplify*a^2
计算结果如下
\[\frac{1}{4} a^2 \left(\sqrt{7}+2 \csc ^{-1}\left(2 \sqrt{\frac{2}{7}}\right)-8 \csc ^{-1}\left(4 \sqrt{\frac{2}{7}}\right)\right)\]
\[=\frac{1}{4} a^2 \left(\sqrt{7}-\tan ^{-1}\left(\frac{1541 \sqrt{7}}{393}\right)\right)\]
又是一个伪装成初中题目的高数题目
用这个办法,再多的反三角函数都能合并,不过不知道还有没有更好的办法?
@chyanog
补充一张图如何化简
用余弦定理是可以做出来的，所以应该是高中生来做 mathematica 发表于 2018-12-30 13:58
计算结果如下
\[\frac{1}{4} a^2 \left(\sqrt{7}+2 \csc ^{-1}\left(2 \sqrt{\frac{2}{7}}\right)-8 \ ...
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
a=Plus@@Table,{k,2,10}]
FullSimplify@a
N
b=N,1000]
c=RootApproximant@b
d=N[(a-ArcTan)/Pi,100]
RootApproximant@d
FullSimplify)]
\[\tan ^{-1}(2)+\tan ^{-1}(3)+\tan ^{-1}(4)+\tan ^{-1}(5)+\tan ^{-1}(6)+\tan ^{-1}(7)+\tan ^{-1}(8)+\tan ^{-1}(9)+\tan ^{-1}(10)
=\frac{15 \pi }{4}+\tan ^{-1}\left(\frac{2387}{4511}\right)
=4 \pi -\tan ^{-1}\left(\frac{1062}{3449}\right)
\]
本帖最后由 王守恩 于 2019-1-1 13:01 编辑
wayne 发表于 2016-5-9 17:41
连接公共的弦，该弦在两个圆里构成的弓形面积都可以求出来，减之即可
设大圆半径为\(\ 1\)，小圆半径为\(\ \ \frac{1}{2}\ \)。
1 个阴影面积=小圆里构成的弓形面积-大圆里构成的弓形面积
=(小圆里构成的扇形面积-小圆里构成的三角形面积)-(大圆里构成的扇形面积-大圆里构成的三角形面积)
=\((\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\theta_1-\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\sin\theta_1)-(1\times 1\times\frac{1}{2}\times\theta_2-1\times 1\times\frac{1}{2}\times\sin\theta_2)\)
\(=0.14638125953......\)
余弦定理：\(\cos\theta_1=\frac{(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2-(\sqrt{\frac{7}{8}})^2}{\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times 2}=\frac{-3}{4}\)
余弦定理：\(\cos\theta_2=\frac{1^2+1^2-(\sqrt{\frac{7}{8}})^2}{1\times 1\times 2}=\frac{9}{16}\)
其中：\(\sqrt{\frac{7}{8}}\)是大小圆公共弦的长度。
本帖最后由 mathematica 于 2019-1-1 13:49 编辑
王守恩 发表于 2019-1-1 12:48
设大圆半径为\(\ 1\)，小圆半径为\(\ \ \frac{1}{2}\ \)。
1 个阴影面积=小圆里构成的弓形面积- ...
$0.292763 a^2$
正确答案,取数值解,差不多就这么大,
看你答案的数值解.
差不多正好一半
会了!
我自己补充一张图,
先用扇形ABD求出红色部分的面积,
然后用扇形BCD求出绿色部分的面积,
两个相互减就是要求的面积的一半.
假设正方形边长=2,则大圆半径=2,小圆半径=1
AB=2
BC=1
$AC=\sqrt{2}$,利用余弦定理
求出∠BAC的余弦值,
再用二倍角公式算出∠BAD的余弦值,
然后得到$BD=\sqrt{\frac{7}{2}}$
剩下的就不多说了
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