求阴影部分的面积

LZC_314

最近有些人来问我题目，说是初中的，可是我只会用积分或者三角函数去做，在此冒昧请教各位老大，到底能不能用普通的方法（加加减减）就能算出来呢？

求阴影面积

wayne

连接公共的弦，该弦在两个圆里构成的弓形面积都可以求出来，减之即可

mathematica

1. (*把正方形的四个顶点放在四个坐标轴上,原点是正方形的中心*)
   
2. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
3. (*先计算出两个坐标*)
   
4. out={x}/.Solve[x^2+y^2==1&&x^2+(y+Sqrt[2])^2==2^2,{x,y}]
   
5. out=Flatten@out
   
6. y1=Sqrt[1-x^2]
   
7. y2=-Sqrt[2]+Sqrt[2^2-x^2]
   
8. (*积分计算面积，有两部分，所以乘以2*)
   
9. mj=2*Integrate[y1-y2,{x,out[[1]],out[[2]]}]
   
10. (*除以正方形面积4，再乘以a^2*)
    
11. mj2=FullSimplify[mj/2^2]*a^2
    

复制代码

计算结果如下
\[\frac{1}{4} a^2 \left(\sqrt{7}+2 \csc ^{-1}\left(2 \sqrt{\frac{2}{7}}\right)-8 \csc ^{-1}\left(4 \sqrt{\frac{2}{7}}\right)\right)\]
\[=\frac{1}{4} a^2 \left(\sqrt{7}-\tan ^{-1}\left(\frac{1541 \sqrt{7}}{393}\right)\right)\]
又是一个伪装成初中题目的高数题目

用这个办法,再多的反三角函数都能合并,不过不知道还有没有更好的办法?
@chyanog


补充一张图如何化简

mathe

用余弦定理是可以做出来的，所以应该是高中生来做

mathematica

mathematica 发表于 2018-12-30 13:58
计算结果如下
\[\frac{1}{4} a^2 \left(\sqrt{7}+2 \csc ^{-1}\left(2 \sqrt{\frac{2}{7}}\right)-8 \ ...

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. a=Plus@@Table[ArcTan[k],{k,2,10}]
   
3. FullSimplify@a
   
4. N[a,10]
   
5. b=N[Tan[a],1000]
   
6. c=RootApproximant@b
   
7. d=N[(a-ArcTan[c])/Pi,100]
   
8. RootApproximant@d
   
9. FullSimplify[a-(4*Pi+ArcTan[-(1062/3449)])]
   

复制代码

\[\tan ^{-1}(2)+\tan ^{-1}(3)+\tan ^{-1}(4)+\tan ^{-1}(5)+\tan ^{-1}(6)+\tan ^{-1}(7)+\tan ^{-1}(8)+\tan ^{-1}(9)+\tan ^{-1}(10)
=\frac{15 \pi }{4}+\tan ^{-1}\left(\frac{2387}{4511}\right)
=4 \pi -\tan ^{-1}\left(\frac{1062}{3449}\right)
\]

王守恩

wayne 发表于 2016-5-9 17:41
连接公共的弦，该弦在两个圆里构成的弓形面积都可以求出来，减之即可

设大圆半径为\(\ 1\)，小圆半径为\(\ \ \frac{1}{2}\ \)。

    1 个阴影面积=小圆里构成的弓形面积-大圆里构成的弓形面积

=(小圆里构成的扇形面积-小圆里构成的三角形面积)-(大圆里构成的扇形面积-大圆里构成的三角形面积)

=\((\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\theta_1-\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\sin\theta_1)-(1\times 1\times\frac{1}{2}\times\theta_2-1\times 1\times\frac{1}{2}\times\sin\theta_2)\)

\(=0.14638125953......\)

余弦定理：\(\cos\theta_1=\frac{(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2-(\sqrt{\frac{7}{8}})^2}{\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times 2}=\frac{-3}{4}\)

余弦定理：\(\cos\theta_2=\frac{1^2+1^2-(\sqrt{\frac{7}{8}})^2}{1\times 1\times 2}=\frac{9}{16}\)

其中：\(\sqrt{\frac{7}{8}}\)是大小圆公共弦的长度。

mathematica

王守恩 发表于 2019-1-1 12:48
设大圆半径为\(\ 1\)，小圆半径为\(\ \ \frac{1}{2}\ \)。

    1 个阴影面积=小圆里构成的弓形面积- ...

$0.292763 a^2$
正确答案,取数值解,差不多就这么大,
看你答案的数值解.
差不多正好一半

会了!
我自己补充一张图,
先用扇形ABD求出红色部分的面积,
然后用扇形BCD求出绿色部分的面积,
两个相互减就是要求的面积的一半.

假设正方形边长=2,则大圆半径=2,小圆半径=1
AB=2
BC=1
$AC=\sqrt{2}$,利用余弦定理
求出∠BAC的余弦值,
再用二倍角公式算出∠BAD的余弦值,
然后得到$BD=\sqrt{\frac{7}{2}}$
剩下的就不多说了