这公式霸气a
圆外切n边形面积的4倍为n边形周长的平方与n个半内角余切值之和的比值。
zyhlcj 发表于 2020-8-16 16:29
圆外切n边形面积的4倍为n边形周长的平方与n个半内角余切值之和的比值。
这个是什么定理/
另外，本题里 的条件 好像并没有要求是 圆内接。
机器证明并不困难，连接AC、BD交与O，设AO=w,BO=x,CO=y,DO=z,∠AOB=ω。把面积、4边4角换元为5变量结果就出来了。
公式是好看，但不实用。试问实际问题会给出那么多量吗？实际上需要四边长和一内角即可求面积了。
本帖最后由 王守恩 于 2021-10-24 15:40 编辑
记 \(AC=1\ \ \ ∠ACD=x\ \ \ ∠ACB=y\ \ \ ∠CAB=z\ \ \ ∠CAD=w\)则
\(\D a=\frac{\sin(x)}{\sin(x+w)\ }\ \ \ b=\frac{\sin(y)}{\sin(y+z)\ }\ \ \ c=\frac{\sin(z)}{\sin(z+y)\ }\ \ \ d=\frac{\sin(w)}{\sin(w+x)\ }\)
\(\D 4S=2*1*a*\sin(w)+2*1*b*\sin(z)=\frac{2\sin(x)\sin(w)\ }{\sin(x+w)}+\frac{2\sin(y)\sin(z)\ }{\sin(y+z)}\ \ \ \ \ \ (1)\)
主帖\(\D=\frac{\big(\frac{\sin(x)}{\sin(x+w)\ }+\frac{\sin(y)}{\sin(y+z)\ }+\frac{\sin(z)}{\sin(z+y)\ }+\frac{\sin(w)}{\sin(w+x)\ }\big)^2\ \ \ }{\cot(\frac{x+y}{2})+\tan(\frac{y+z}{2})+\cot(\frac{z+w}{2})+\tan(\frac{w+x}{2})\ \ \ \ }-\frac{\big(\frac{\sin(x)}{\sin(x+w)\ }-\frac{\sin(y)}{\sin(y+z)\ }+\frac{\sin(z)}{\sin(z+y)\ }-\frac{\sin(w)}{\sin(w+x)\ }\big)^2\ \ \ }{\tan(\frac{x+y}{2})+\cot(\frac{y+z}{2})+\tan(\frac{z+w}{2})+\cot(\frac{w+x}{2})\ \ \ \ }\ \ \ \ \ (2)\)
综合 \(\frac{(1)}{(2)}=k\) 化简可得 \( k=1\)
本帖最后由 王守恩 于 2021-10-26 07:48 编辑
王守恩 发表于 2021-10-24 08:33
记 \(AC=1\ \ \ ∠ACD=x\ \ \ ∠ACB=y\ \ \ ∠CAB=z\ \ \ ∠CAD=w\)则
\(\D a=\frac{\sin(x)}{\sin(x+ ...
接16楼。
Simplify\(\D\bigg[\frac{\big(\frac{\sin(x)\sin(w)}{\sin(x+w)}+\frac{\sin(y)\sin(z)}{\sin(y+z)}+\frac{\sin(z)\sin(y)}{\sin(z+y)}+\frac{\sin(w)\sin(x)\ }{\sin(w+x)}\big)\big(\frac{\sin(x+y)}{1+\cos(x+y)}+\frac{1+\cos(y+z)}{\sin(y+z)}+\frac{\sin(z+w)}{1+\cos(z+w)}+\frac{1+\cos(w+x)\ }{\sin(w+x)}\big)\big(\frac{1+\cos(x+y)}{\sin(x+y)}+\frac{\sin(y+z)}{1+\cos(y+z)}+\frac{1+\cos(z+w)}{\sin(z+w)}+\frac{\sin(w+x)}{1+\cos(w+x)\ }\big)}{\big(\frac{\sin(x)}{\sin(x+w)}+\frac{\sin(y)}{\sin(y+z)}+\frac{\sin(z)}{\sin(z+y)}+\frac{\sin(w)}{\sin(w+x)}\big)^2\big(\frac{\sin(x+y)}{1+\cos(x+y)}+\frac{1+\cos(y+z)}{\sin(y+z)}+\frac{\sin(z+w)}{1+\cos(z+w)}+\frac{1+\cos(w+x)}{\sin(w+x)}\big)-\big(\frac{\sin(x)}{\sin(x+w)}-\frac{\sin(y)}{\sin(y+z)}+\frac{\sin(z)}{\sin(z+y)}-\frac{\sin(w)}{\sin(w+x)}\big)^2\big(\frac{1+\cos(x+y)}{\sin(x+y)}+\frac{\sin(y+z)}{1+\cos(y+z)}+\frac{1+\cos(z+w)}{\sin(z+w)}+\frac{\sin(w+x)}{1+\cos(w+x)}\big)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\bigg]\)=1
本帖最后由 TSC999 于 2022-1-30 21:03 编辑
上面王守恩的证明方法很巧妙。只是证明过程的最后一步烦琐了。使用王守恩的方法、并采用下面这个程序代码比较简单：
Clear["Global`*"];
a = Sin/Sin;b = Sin/Sin; c = Sin/
Sin; d = Sin/Sin;
S = (Sin Sin)/(2 Sin) + (Sin Sin)/(2 Sin) ;
S0 = (a + b + c + d)^2/(
Cot[(z + w)/2] + Cot[(\ - z - y)/2] + Cot[(x + y)/2] +
Cot[(\ - x - w)/2])- (a + c - b - d)^2/(
Tan[(z + w)/2] + Tan[(\ - z - y)/2] + Tan[(x + y)/2] +
Tan[(\ - x - w)/2]) ;
Simplify@ExpandDenominator@Together[(4 S)/S0]
程序运行结果为 1。这就证明了主帖中的公式是正确的。这个公式对一切四边形都适用。包括凹四边形也可以。
图今天发不上来了，因为试发次数超过四次，就不能再发了。
本帖最后由 TSC999 于 2022-1-31 12:10 编辑
把程序中最后一句改成计算 \(4S-S0\) 也行，结果为 \(0\)，因此有\(4S = S0\)。