介绍一个任意四边形的面积公式，谁会证明？

wayne

这公式霸气a

zyhlcj

圆外切n边形面积的4倍为n边形周长的平方与n个半内角余切值之和的比值。

wayne

zyhlcj 发表于 2020-8-16 16:29
圆外切n边形面积的4倍为n边形周长的平方与n个半内角余切值之和的比值。

这个是什么定理/
另外，本题里 的条件 好像并没有要求是 圆内接。

zeroieme

机器证明并不困难，连接AC、BD交与O，设AO=w,BO=x,CO=y,DO=z,∠AOB=ω。把面积、4边4角换元为5变量结果就出来了。

hejoseph

公式是好看，但不实用。试问实际问题会给出那么多量吗？实际上需要四边长和一内角即可求面积了。

王守恩

记 \(AC=1\ \ \ ∠ACD=x\ \ \ ∠ACB=y\ \ \ ∠CAB=z\ \ \ ∠CAD=w\)  则

\(\D a=\frac{\sin(x)}{\sin(x+w)\ }\ \ \ b=\frac{\sin(y)}{\sin(y+z)\ }\ \ \ c=\frac{\sin(z)}{\sin(z+y)\ }\ \ \ d=\frac{\sin(w)}{\sin(w+x)\ }\)

\(\D 4S=2*1*a*\sin(w)+2*1*b*\sin(z)=\frac{2\sin(x)\sin(w)\ }{\sin(x+w)}+\frac{2\sin(y)\sin(z)\ }{\sin(y+z)}\ \ \ \ \ \ (1)\)

主帖\(\D=\frac{\big(\frac{\sin(x)}{\sin(x+w)\ }+\frac{\sin(y)}{\sin(y+z)\ }+\frac{\sin(z)}{\sin(z+y)\ }+\frac{\sin(w)}{\sin(w+x)\ }\big)^2\ \ \ }{\cot(\frac{x+y}{2})+\tan(\frac{y+z}{2})+\cot(\frac{z+w}{2})+\tan(\frac{w+x}{2})\ \ \ \ }-\frac{\big(\frac{\sin(x)}{\sin(x+w)\ }-\frac{\sin(y)}{\sin(y+z)\ }+\frac{\sin(z)}{\sin(z+y)\ }-\frac{\sin(w)}{\sin(w+x)\ }\big)^2\ \ \ }{\tan(\frac{x+y}{2})+\cot(\frac{y+z}{2})+\tan(\frac{z+w}{2})+\cot(\frac{w+x}{2})\ \ \ \ }\ \ \ \ \ (2)\)

综合 \(\frac{(1)}{(2)}=k\)   化简可得 \( k=1\)

王守恩

王守恩 发表于 2021-10-24 08:33
记 \(AC=1\ \ \ ∠ACD=x\ \ \ ∠ACB=y\ \ \ ∠CAB=z\ \ \ ∠CAD=w\)  则

\(\D a=\frac{\sin(x)}{\sin(x+ ...

接16楼。
Simplify\(\D\bigg[\frac{\big(\frac{\sin(x)\sin(w)}{\sin(x+w)}+\frac{\sin(y)\sin(z)}{\sin(y+z)}+\frac{\sin(z)\sin(y)}{\sin(z+y)}+\frac{\sin(w)\sin(x)\ }{\sin(w+x)}\big)\big(\frac{\sin(x+y)}{1+\cos(x+y)}+\frac{1+\cos(y+z)}{\sin(y+z)}+\frac{\sin(z+w)}{1+\cos(z+w)}+\frac{1+\cos(w+x)\ }{\sin(w+x)}\big)\big(\frac{1+\cos(x+y)}{\sin(x+y)}+\frac{\sin(y+z)}{1+\cos(y+z)}+\frac{1+\cos(z+w)}{\sin(z+w)}+\frac{\sin(w+x)}{1+\cos(w+x)\ }\big)}{\big(\frac{\sin(x)}{\sin(x+w)}+\frac{\sin(y)}{\sin(y+z)}+\frac{\sin(z)}{\sin(z+y)}+\frac{\sin(w)}{\sin(w+x)}\big)^2\big(\frac{\sin(x+y)}{1+\cos(x+y)}+\frac{1+\cos(y+z)}{\sin(y+z)}+\frac{\sin(z+w)}{1+\cos(z+w)}+\frac{1+\cos(w+x)}{\sin(w+x)}\big)-\big(\frac{\sin(x)}{\sin(x+w)}-\frac{\sin(y)}{\sin(y+z)}+\frac{\sin(z)}{\sin(z+y)}-\frac{\sin(w)}{\sin(w+x)}\big)^2\big(\frac{1+\cos(x+y)}{\sin(x+y)}+\frac{\sin(y+z)}{1+\cos(y+z)}+\frac{1+\cos(z+w)}{\sin(z+w)}+\frac{\sin(w+x)}{1+\cos(w+x)}\big)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\bigg]\)=1

TSC999

上面王守恩的证明方法很巧妙。只是证明过程的最后一步烦琐了。使用王守恩的方法、并采用下面这个程序代码比较简单：

1. Clear["Global`*"];
   
2. a = Sin[x]/Sin[x + w];  b = Sin[y]/Sin[y + z];   c = Sin[z]/
   
3. Sin[z + y];   d = Sin[w]/Sin[w + x];
   
4. S = (Sin[x] Sin[w])/(2 Sin[x + w]) + (Sin[y] Sin[z])/(2 Sin[y + z]) ;
   
5. S0 = (a + b + c + d)^2/(
   
6.    Cot[(z + w)/2] + Cot[(\[Pi] - z - y)/2] + Cot[(x + y)/2] +
   
7.     Cot[(\[Pi] - x - w)/2])  - (a + c - b - d)^2/(
   
8.    Tan[(z + w)/2] + Tan[(\[Pi] - z - y)/2] + Tan[(x + y)/2] +
   
9.     Tan[(\[Pi] - x - w)/2]) ;
   
10. Simplify@ExpandDenominator@Together[(4 S)/S0]

复制代码

程序运行结果为 1。这就证明了主帖中的公式是正确的。这个公式对一切四边形都适用。包括凹四边形也可以。

TSC999

图今天发不上来了，因为试发次数超过四次，就不能再发了。

TSC999

把程序中最后一句改成计算 \(4S-S0\) 也行，结果为 \(0\)，因此有  \(4S = S0\)。