一道有趣的数论题目
已知x，y，z均为正整数，且x/y+y/z+z/x为整数，证明xyz三个数的乘积为立方数。直接用因子分析就行了吧。
由于齐次，不妨令Gcd(x,y,z)=1.
设a=Gcd(y,z), b=Gcd(z,x), c=Gcd(x,y)，则a,b,c两两互素.
再设x=bcX, y=caY, z=abZ, 则X, Y, Z两两互素，并且Gcd(a,X)=Gcd(b,Y)=Gcd(c,Z)=1.
于是x/y+y/z+z/x=bX/aY+cY/bZ+aZ/cX, 右边三项全是既约分数.
设m=x/y+y/z+z/x, 化为整式即
XXbbcZ+aXYYcc+aabYZZ=mabcXYZ
取模aY得aY|cZ, 故a|Z, Y|c
取模bZ得bZ|aX, 故b|X, Z|a
取模cX得cX|bY, 故c|Y, X|b
综上可得 a=Z, b=X, c=Y
于是x=bbc, y=cca, z=aab, xyz=(abc)^3
非常感谢 从2楼的过程来看，x,y,z不拒负数，命题照样成立。方程最后化成了\倒是挺有趣的一个丢番图方程。若能求出通解来，或可用来证明n=3的费马大定理。 方程\有 4 个平凡解(±1,±1,±1), 两种部分解, 一是 `x+y+z=0` 者，二是`\{1, -1, z\}`。
在`1\le|x|<|y|<|z|\le100`范围内，除上述三者外，还有以下特解
{ 1, 2, 3}, { 1, 2, 9}, { 1, 3,14}, { 1, 5, 9}, { 1, 5,14},
{ 1, 14,45}, { 1,14,61}, { 1, 35,54}, { 2, 3, 7}, { 2, 7,13},
{ 2, 7,27}, { 2, 9,67}, { 2, 13,21}, { 2,13,63}, { 2, 21,31},
{ 2, 27,97}, { 2,31,43}, { 2, 43,57}, { 2,57,73}, { 2, 73,91},
{ 3, 7,74}, { 5, 7,18}, { 5, 7,78}, { 5, 9,61}, { 5, 18,37},
{ 9, 13,38}, { 9,13,77}, { 9, 38,91}, { 13,42,95}, {-1, -2, 9},
{-1, -3, 7}, {-1, -3,28}, {-1, -4,13}, {-1, -4,65}, {-1, -5,21},
{-1, -6,31}, {-1, -7,43}, {-1, -7,86}, {-1, -8,57}, {-1, -9,73},
{-1, -10,91}, {-1, -19,49}, {-1, -26,81}, {-1, -27,37}, {-1, -31,56},
{-1, -31,98}, {-1, -36,97}, {-2, -3,35}, {-2, -7,39}, {-2, -13,45},
{-3, -4,91}, {-3, -5,38}, {-4, -9,61}, {-5, -7,52}, {-7, -8,95},
{-7, -9,67}, {-9, -31,70}, {-13, -14,61}, {-14, -19,97}, {-19, -21,52}
{-1, 2, -7}, {-1, 3, -26}, {-1, 4, -7}, {-1, 4, -63}, {-1, 7, -19},
{-1, 7, -38}, {-1, 9, -14}, {-1, 9, -26}, {-1, 9, -56}, {-1,13, -36},
{-1,16, -63}, {-1,19, -27}, {-1,26, -95}, {-2, 3, -19}, {-2, 5, -13},
{-3, 4, -37}, {-3, 7, -79}, {-4, 5, -61}, {-4, 7, -31}, {-5, 6, -91},
{-5, 8, -43}, {-6,19, -91}, {-7,10, -73}, {-7,37, -78}, {-8,11, -91}
{ 1, -2, -7}, { 1, -3, -13}, { 1,- 4, -9}, { 1, -4, -21}, { 1, -5, -31},
{ 1, -6, -43}, { 1, -7, -9}, { 1, -7, -18}, { 1, -7, -57}, { 1, -8, -73},
{ 1, -9, -13}, { 1, -9, -28}, { 1, -9, -52}, { 1, -9, -91}, { 1, -13, -61},
{ 1, -16, -65}, { 1, -18, -49}, { 1, -28, -81}, { 1, -37, -63}, { 1, -37, -84},
{ 1, -45, -76}, { 2, -7, -67}, { 3, -13, -14}, { 3, -13, -35}, { 3, -14, -19},
{ 4, -7, -9}, { 4, -7, -93}, { 4, -9, -19}, { 5, -62, -63}, { 7, -39, -76},
{ 8, -63, -65}, { 9, -49, -74} 假定上述方程有一个解`(x_1,y,z)`, 那么`x_1`是关于 `x` 的一个一元三次方程\的一根。
该方程另外两根`x_2,x_3`若是整数，那么`(x_2,y,z),(x_3,y,z)`也是原丢番图方程的解。
上楼列出100以内的解，就是试图从中找到具有这种衍生关系的三个解，并进一步看看这种衍生关系能生成多大一棵三叉树。
俺粗粗目测了一下，还没发现一组，或许应该编个程序搜索一下。编程非我所长，这个搜索程序得费点心思了。
由于`x_1+x_2+x_3=0`, 所以俺在目测时也没忘了从 (-x,-y,-z)中扒拉:) ，并且也没漏了那两种部分解。 不知命题推广是否都成立，
已知a1，a2，a3,....an均为正整数，且a1/a2+a2/a3+a3/a4......an/a1为整数，证明a1a2a3....an这n个数的乘积为n次方数。
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