§4分圆方程式的高斯解法
在§1，我们已经指出割圆方程式
xp-1+xp-2+…+x+1=0 （1）
在有理数域内是不可约的。现在我们来找它在有理数域上的群。采用上节的符号，方程式（1）的根为：
ε，ε，ε，…，ε。 （2）
首先来证明下面这个定理：
定理4.1凡是系数为有理数的ε的整函数，如果施以置换（ε，ε）后值不变，则它的值必为有理数①。
①如果f（ε）的系数为整数，则它的值亦为整数。
证明设f（ε）是任一系数为有理数的ε的多项式。注意到εp=1，故f（ε）的次数不能超过p次：
f（ε）=a0+a1ε+a2ε2 +…+ap-1εp-1。
注意到εp-1+εp-1+…+ε+1=0，或a0=-a0（εp-1+εp-1+…+ε），故上面那个多项式可以设为
f（ε）=b1ε+b2ε2 +…+bp-1εp-1。 （3）
除次序以外，每一幂εi与某一ε相同，故f（ε）可用幂ε表示为
f（ε）=c0ε+c1ε+…+cp-2ε，
这里c0，c1，…，cp-2均为有理数。今将ε=ε变为ε，则按照条件f（ε）的值不变：
f（ε）=c0ε+c1ε+…+cp-2ε。
因而
（cp-2- c0）ε+（c0- c1）ε+（c1- c2）ε+…+（cp-3- c2）ε=0。
若用ε来除这个等式的两端，则右端将是一个ε的p-2次的多项式，即ε满足一个系数为有理数次数为p-2次的方程式。这只有在方程式的系数均为0时才有可能，因为分圆方程式在有理数域上是不可约的。于是
c0=c1=…=cp-2，
而f（ε）的值为有理数：
f（ε）=c0（ε+c1ε+…+cp-2ε）=-c0。
经置换（ε，ε）后，排列ε，ε，…，ε变为ε，ε，…，ε，就此而言，（ε，ε）与循环置换
s=（0，1，2，…，p-2）
效果相同。由s可生成一个p-1阶循环置换群
H={sp-1=I，s，s2，…，sp-2}。
反过来，可以证明
定理4.2凡系数为有理数的单位根ε的有理整函数，如果它的值是有理数，则函数值必不为循环置换群H的置换所变。
这是因为这样的函数，均可以表示为（3）的形式，如果它的值是有理数，则因分圆方程式在有理数域上的不可约性可知
b1=b2=…=bp-1=-c，
因而函数的形式为
-c（ε+ε2+…+εp-1）=-c（ε+c1ε+…+cp-2ε），
它对任何循环置换不变。
由这两个定理，我们可以说
定理4.3循环置换群H是分圆方程式的伽罗华群。
现在我们按照群论的观点来求解分圆方程式。H的阶数p-1恒为偶数，故非为素数。今设
p-1=ef， （4）
则 He={sp-1=I， se，s2e，…，s（f-1）e}
为f阶的H的循环子群，并且还是不变子群。与置换s2e相当者，为置换（ε，ε）。
按照分解式（4），我们将（2）中的解分为e个类，每类f个：
η0=ε+ε+ε+…+ε[（f-1）e]，
η1=ε+ε+ε+…+ε[（f-1）e+1]，
…………
ηe-1=ε+ε+ε+…+ε。
由（5）定义的数η0，η1，…，ηe-1被高斯称为分圆方程式的f项周期。这些周期两两不等，并且它们构成子群He的e个共轭值（第七章§5定义5.1）。
定理4.4设p-1=ef=gh，且f整除g，则任意的项数为f的周期是次数为g/f的方程的根，且该方程的系数由项数为g的周期有理表达。
证明f项周期的特征群为He={sp-1=I，se，s2e，…，s（f-1）e}，g项周期的特征群为Hh={sp-1=I，sh，s2h，…，s（f-1）h}。因为f整除g，所以可设g=fk，k是整数。又p-1=ef=gh，所以ef=（fk）h，得e=kh。如此，He为Hh的指数为k的子群。由第七章§5定理5.4立得本定理。
由上面的定义和定理，就可以把方程（1）的解一步一步的得出来。令f0=p-1，f1，…，fr-1，fr=1，其中fi-1整除fi，i= 1，…，r。令vi是项数为fi的周期，其中i=0，1，…，r。则v0是项数为p-1的周期等于-1，vi可由一个次数为fi-1/fi的方程的根确定，且该方程的系数由vi-1有理表达。由于vr是项数为1的周期，则方程的根可得出。
为了简单，使要解的方程的次数尽可能的小，则选f0，f1，…，fr时，须使fi-1/fi是素数且整除p-1。比如说p= 37时，p-1=36 =2×2×3×3，则只需解两个二次方程和两个三次方程就可得出x36+ x35+…+x+1=0的根。
又如p =71时，p-1=2×5×7，要解方程x70+x69+…+x+1=0，则不可避免要解一个五次方程和一个七次方程。
则如§3定理3.1所表明得那样（既然ε可根式求解，所以作为ε的有理整函数的fi项周期自然可以根式求解），高斯证明了这些次数为fi-1/fi的方程都是根式可解的。
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