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[原创] §4分圆方程式的高斯解法

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发表于 2016-11-9 15:13:49 | 显示全部楼层 |阅读模式

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在§1,我们已经指出割圆方程式
                                   xp-1+xp-2+…+x+1=0                                   (1)
在有理数域内是不可约的。现在我们来找它在有理数域上的群。采用上节的符号,方程式(1)的根为:
ε[0],ε[1],ε[2],…,ε[p-2]。                             (2)
首先来证明下面这个定理:
定理4.1  凡是系数为有理数的ε的整函数,如果施以置换(ε,ε[1])后值不变,则它的值必为有理数①。
①如果f(ε)的系数为整数,则它的值亦为整数。
证明  设f(ε)是任一系数为有理数的ε的多项式。注意到εp=1,故f(ε)的次数不能超过p次:
f(ε)=a0+a1ε+a2ε2 +…+ap-1εp-1。
注意到εp-1+εp-1+…+ε+1=0,或a0=-a0(εp-1+εp-1+…+ε),故上面那个多项式可以设为
f(ε)=b1ε+b2ε2 +…+bp-1εp-1。                              (3)
除次序以外,每一幂εi与某一ε[j]相同,故f(ε)可用幂ε[j]表示为
f(ε)=c0ε[0]+c1ε[1]+…+cp-2ε[p-2],
这里c0,c1,…,cp-2均为有理数。今将ε[0]=ε变为ε[1],则按照条件f(ε)的值不变:
f(ε)=c0ε[1]+c1ε[2]+…+cp-2ε[0]。
因而
(cp-2- c0)ε[0]+(c0- c1)ε[1]+(c1- c2)ε[2]+…+(cp-3- c2)ε[p-2]=0。
若用ε来除这个等式的两端,则右端将是一个ε的p-2次的多项式,即ε满足一个系数为有理数次数为p-2次的方程式。这只有在方程式的系数均为0时才有可能,因为分圆方程式在有理数域上是不可约的。于是
c0=c1=…=cp-2,
而f(ε)的值为有理数:
f(ε)=c0(ε[0]+c1ε[1]+…+cp-2ε[p-2])=-c0。
    经置换(ε,ε[1])后,排列ε[0],ε[1],…,ε[p-2]变为ε[1],ε[2],…,ε[0],就此而言,(ε[0],ε[1])与循环置换
s=(0,1,2,…,p-2)
效果相同。由s可生成一个p-1阶循环置换群
H={sp-1=I,s,s2,…,sp-2}。
反过来,可以证明
定理4.2  凡系数为有理数的单位根ε的有理整函数,如果它的值是有理数,则函数值必不为循环置换群H的置换所变。
    这是因为这样的函数,均可以表示为(3)的形式,如果它的值是有理数,则因分圆方程式在有理数域上的不可约性可知
   b1=b2=…=bp-1=-c,
因而函数的形式为
    -c(ε+ε2+…+εp-1)=-c(ε[0]+c1ε[1]+…+cp-2ε[p-2]),
它对任何循环置换不变。
  由这两个定理,我们可以说
定理4.3  循环置换群H是分圆方程式的伽罗华群。
现在我们按照群论的观点来求解分圆方程式。H的阶数p-1恒为偶数,故非为素数。今设
p-1=ef,                                       (4)
则                             He={sp-1=I, se,s2e,…,s(f-1)e}
为f阶的H的循环子群,并且还是不变子群。与置换s2e相当者,为置换(ε,ε[e])。
按照分解式(4),我们将(2)中的解分为e个类,每类f个:
η0=ε[0]+ε[e]+ε[2e]+…+ε[(f-1)e],
η1=ε[1]+ε[e+1]+ε[2e+1]+…+ε[(f-1)e+1],
…………
ηe-1=ε[e-1]+ε[2e-1]+ε[3e-1]+…+ε[p-2]。
由(5)定义的数η0,η1,…,ηe-1被高斯称为分圆方程式的f项周期。这些周期两两不等,并且它们构成子群He的e个共轭值(第七章§5定义5.1)。
定理4.4  设p-1=ef=gh,且f整除g,则任意的项数为f的周期是次数为g/f的方程的根,且该方程的系数由项数为g的周期有理表达。
证明  f项周期的特征群为He={sp-1=I,se,s2e,…,s(f-1)e},g项周期的特征群为Hh={sp-1=I,sh,s2h,…,s(f-1)h}。因为f整除g,所以可设g=fk,k是整数。又p-1=ef=gh,所以ef=(fk)h,得e=kh。如此,He为Hh的指数为k的子群。由第七章§5定理5.4立得本定理。
由上面的定义和定理,就可以把方程(1)的解一步一步的得出来。令f0=p-1,f1,…,fr-1,fr=1,其中fi-1整除fi,i= 1,…,r。令vi是项数为fi的周期,其中i=0,1,…,r。则v0是项数为p-1的周期等于-1,vi可由一个次数为fi-1/fi的方程的根确定,且该方程的系数由vi-1有理表达。由于vr是项数为1的周期,则方程的根可得出。
为了简单,使要解的方程的次数尽可能的小,则选f0,f1,…,fr时,须使fi-1/fi是素数且整除p-1。比如说p= 37时,p-1=36 =2×2×3×3,则只需解两个二次方程和两个三次方程就可得出x36+ x35+…+x+1=0的根。
又如p =71时,p-1=2×5×7,要解方程x70+x69+…+x+1=0,则不可避免要解一个五次方程和一个七次方程。
则如§3定理3.1所表明得那样(既然ε可根式求解,所以作为ε的有理整函数的fi项周期自然可以根式求解),高斯证明了这些次数为fi-1/fi的方程都是根式可解的。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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