用 mathematica 求一个定积分
用 mathematica 求下面这个定积分的结果：\(\D\int \frac{x \sqrt{x^2 + x +1}}{x^2 + x + 2}dx \)
要求结果（原函数）有最简形式。 做一点改变，会让机器在算法选择以及中间式的组合与化简过程走不少捷径
Integrate/(y^2 + 7/4), y] -
Integrate/(y^2 + 7/4), y] /.
y -> x + 1/2 // Simplify
D[%, x] // Simplify
$$\sqrt{x^2+x+1}-\arctan \sqrt{x^2+x+1}+\frac{1}{\sqrt{7}}\arctan \frac{2 x+1}{ \sqrt{7x^2+7x+7}}-\frac{1}{2}\mathrm{arcsinh}\frac{2 x+1}{\sqrt{3}}$$ kastin 发表于 2016-12-22 21:13
做一点改变，会让机器在算法选择以及中间式的组合与化简过程走不少捷径
$$\sqrt{x^2+x+1}-\arctan \sqrt ...
有时候觉得软件就是一个傻逼! 本帖最后由 mathematica 于 2017-5-12 08:33 编辑
三角代换
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
f = (x Sqrt)/(x^2 + x + 2)
fk=FullSimplify/2 Tan - 1/2}]
FullSimplify@Integrate[-((Sec (Sqrt - 3 Tan))/(7 + 3 Tan^2)), k]
\[-\frac{\left(\sqrt{3}-3 \tan (k)\right) \sqrt{\sec ^2(k)}}{3 \tan ^2(k)+7}\]
\[-\frac{1}{14} \sqrt{3} \left(7 \left(\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{7} \tan \left(\frac{k}{2}\right)+2}{\sqrt{3}}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{2-\sqrt{7} \tan \left(\frac{k}{2}\right)}{\sqrt{3}}\right)\right)+\sqrt{7} \tanh ^{-1}\left(\frac{2 \sin (k)}{\sqrt{7}}\right)\right)\]
kastin 发表于 2016-12-22 21:13
做一点改变，会让机器在算法选择以及中间式的组合与化简过程走不少捷径
$$\sqrt{x^2+x+1}-\arctan \sqrt ...
奇葩了,为什么你算的结果有\[\sqrt{x^2+x+1}\]这样的项,而我搞的三角代换没有? kastin 发表于 2016-12-22 21:13
做一点改变，会让机器在算法选择以及中间式的组合与化简过程走不少捷径
$$\sqrt{x^2+x+1}-\arctan \sqrt ...
奇葩,你算出来的是四项,我算出来的是三项,
奇葩了,究竟是为什么呢? sol=Last@Solve;
(x Sqrt)/(x^2+x+2) D/.sol//Simplify
Integrate[%,t]
FullSimplify[%/. t->x^2+x+1,2x+1>0]
D[%,x]//Simplify
$$\sqrt{x^2+x+1}-\frac{1}{2} \log \left(2 \sqrt{x^2+x+1}+2 x+1\right)-\tan ^{-1}\left(\sqrt{x^2+x+1}\right)+\frac{\tanh ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{7} (2 x+1) \sqrt{x^2+x+1}}{11 x (x+1)+8}\right)}{2 \sqrt{7}}$$
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