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[讨论] 用 mathematica 求一个定积分

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发表于 2016-12-22 18:22:53 | 显示全部楼层 |阅读模式

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用 mathematica 求下面这个定积分的结果:

\(\D  \int \frac{x \sqrt{x^2 + x +1}}{x^2 + x + 2}dx \)

要求结果(原函数)有最简形式。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2016-12-22 21:13:21 | 显示全部楼层
做一点改变,会让机器在算法选择以及中间式的组合与化简过程走不少捷径
  1. Integrate[y Sqrt[y^2 + 3/4]/(y^2 + 7/4), y] -
  2.    Integrate[1/2 Sqrt[y^2 + 3/4]/(y^2 + 7/4), y] /.
  3.   y -> x + 1/2 // Simplify
  4. D[%, x] // Simplify
复制代码

$$\sqrt{x^2+x+1}-\arctan \sqrt{x^2+x+1}+\frac{1}{\sqrt{7}}\arctan \frac{2 x+1}{ \sqrt{7x^2+7x+7}}-\frac{1}{2}\mathrm{arcsinh}\frac{2 x+1}{\sqrt{3}}$$

点评

奇葩了,为什么你算的结果有\[\sqrt{x^2+x+1}\]这样的项,而我搞的三角代换没有?  发表于 2017-5-12 08:43
方法很好,答案也完全正确!  发表于 2016-12-22 21:20
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-5-11 19:40:42 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2016-12-22 21:13
做一点改变,会让机器在算法选择以及中间式的组合与化简过程走不少捷径

$$\sqrt{x^2+x+1}-\arctan \sqrt ...

有时候觉得软件就是一个傻逼!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-5-12 08:31:36 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2017-5-12 08:33 编辑

三角代换

  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. f = (x Sqrt[x^2 + x + 1])/(x^2 + x + 2)
  3. fk=FullSimplify[f /. {x -> Sqrt[3]/2 Tan[k] - 1/2}]
  4. FullSimplify@Integrate[-((Sec[k] (Sqrt[3] - 3 Tan[k]))/(7 + 3 Tan[k]^2)), k]
复制代码



\[-\frac{\left(\sqrt{3}-3 \tan (k)\right) \sqrt{\sec ^2(k)}}{3 \tan ^2(k)+7}\]

\[-\frac{1}{14} \sqrt{3} \left(7 \left(\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{7} \tan \left(\frac{k}{2}\right)+2}{\sqrt{3}}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{2-\sqrt{7} \tan \left(\frac{k}{2}\right)}{\sqrt{3}}\right)\right)+\sqrt{7} \tanh ^{-1}\left(\frac{2 \sin (k)}{\sqrt{7}}\right)\right)\]

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-5-12 08:35:30 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2016-12-22 21:13
做一点改变,会让机器在算法选择以及中间式的组合与化简过程走不少捷径

$$\sqrt{x^2+x+1}-\arctan \sqrt ...

奇葩了,为什么你算的结果有\[\sqrt{x^2+x+1}\]这样的项,而我搞的三角代换没有?

点评

@chyanog 感觉不少呀  发表于 2017-5-13 12:32
你换元后少乘了一个式子  发表于 2017-5-12 18:02
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-5-12 08:45:58 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2016-12-22 21:13
做一点改变,会让机器在算法选择以及中间式的组合与化简过程走不少捷径

$$\sqrt{x^2+x+1}-\arctan \sqrt ...

奇葩,你算出来的是四项,我算出来的是三项,
奇葩了,究竟是为什么呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2017-5-12 18:10:05 | 显示全部楼层
  1. sol=Last@Solve[x^2+x+1==t,x];
  2. (x Sqrt[x^2+x+1])/(x^2+x+2) D[x/.sol,t]/.sol//Simplify
  3. Integrate[%,t]
  4. FullSimplify[%/. t->x^2+x+1,2x+1>0]
  5. D[%,x]//Simplify
复制代码

$$\sqrt{x^2+x+1}-\frac{1}{2} \log \left(2 \sqrt{x^2+x+1}+2 x+1\right)-\tan ^{-1}\left(\sqrt{x^2+x+1}\right)+\frac{\tanh ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{7} (2 x+1) \sqrt{x^2+x+1}}{11 x (x+1)+8}\right)}{2 \sqrt{7}}$$

点评

受不了,三个人算出来三种结果  发表于 2017-5-13 12:35
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