用 mathematica 求一个定积分

TSC999

用 mathematica 求下面这个定积分的结果：

\(\D  \int \frac{x \sqrt{x^2 + x +1}}{x^2 + x + 2}dx \)

要求结果（原函数）有最简形式。

kastin

做一点改变，会让机器在算法选择以及中间式的组合与化简过程走不少捷径

1. Integrate[y Sqrt[y^2 + 3/4]/(y^2 + 7/4), y] -
   
2.    Integrate[1/2 Sqrt[y^2 + 3/4]/(y^2 + 7/4), y] /.
   
3.   y -> x + 1/2 // Simplify
   
4. D[%, x] // Simplify

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$$\sqrt{x^2+x+1}-\arctan \sqrt{x^2+x+1}+\frac{1}{\sqrt{7}}\arctan \frac{2 x+1}{ \sqrt{7x^2+7x+7}}-\frac{1}{2}\mathrm{arcsinh}\frac{2 x+1}{\sqrt{3}}$$

mathematica

kastin 发表于 2016-12-22 21:13
做一点改变，会让机器在算法选择以及中间式的组合与化简过程走不少捷径

$$\sqrt{x^2+x+1}-\arctan \sqrt ...

有时候觉得软件就是一个傻逼!

mathematica

三角代换

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. f = (x Sqrt[x^2 + x + 1])/(x^2 + x + 2)
   
3. fk=FullSimplify[f /. {x -> Sqrt[3]/2 Tan[k] - 1/2}]
   
4. FullSimplify@Integrate[-((Sec[k] (Sqrt[3] - 3 Tan[k]))/(7 + 3 Tan[k]^2)), k]
   

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\[-\frac{\left(\sqrt{3}-3 \tan (k)\right) \sqrt{\sec ^2(k)}}{3 \tan ^2(k)+7}\]

\[-\frac{1}{14} \sqrt{3} \left(7 \left(\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{7} \tan \left(\frac{k}{2}\right)+2}{\sqrt{3}}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{2-\sqrt{7} \tan \left(\frac{k}{2}\right)}{\sqrt{3}}\right)\right)+\sqrt{7} \tanh ^{-1}\left(\frac{2 \sin (k)}{\sqrt{7}}\right)\right)\]

mathematica

kastin 发表于 2016-12-22 21:13
做一点改变，会让机器在算法选择以及中间式的组合与化简过程走不少捷径

$$\sqrt{x^2+x+1}-\arctan \sqrt ...

奇葩了,为什么你算的结果有\[\sqrt{x^2+x+1}\]这样的项,而我搞的三角代换没有?

mathematica

kastin 发表于 2016-12-22 21:13
做一点改变，会让机器在算法选择以及中间式的组合与化简过程走不少捷径

$$\sqrt{x^2+x+1}-\arctan \sqrt ...

奇葩,你算出来的是四项,我算出来的是三项,
奇葩了,究竟是为什么呢?

chyanog

1. sol=Last@Solve[x^2+x+1==t,x];
   
2. (x Sqrt[x^2+x+1])/(x^2+x+2) D[x/.sol,t]/.sol//Simplify
   
3. Integrate[%,t]
   
4. FullSimplify[%/. t->x^2+x+1,2x+1>0]
   
5. D[%,x]//Simplify

复制代码

$$\sqrt{x^2+x+1}-\frac{1}{2} \log \left(2 \sqrt{x^2+x+1}+2 x+1\right)-\tan ^{-1}\left(\sqrt{x^2+x+1}\right)+\frac{\tanh ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{7} (2 x+1) \sqrt{x^2+x+1}}{11 x (x+1)+8}\right)}{2 \sqrt{7}}$$