aimisiyou 发表于 2017-5-1 11:27
\(f(m)=f(m-1)+f(m-2)+f(m-3),(m>=4) 其中f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4,f(4)=7……\)
土法炼钢,好办法,对于小学生容易明白
mathematica 发表于 2017-5-2 13:23
当项目特别巨大的时候,必须采用我的办法!
否则应该没办法计算!或者计算一定会失败!
矩阵的幂本身计算就是根据相似矩阵（矩阵特征值）来计算的，也就是那些特征方程方程的根的幂的线性组合，本质上还是通项公式，只是没显式写出来而已。
kastin 发表于 2017-5-2 15:04
矩阵的幂本身计算就是根据相似矩阵（矩阵特征值）来计算的，也就是那些特征方程方程的根的幂的线性组合， ...
我自己简单写了一个 二分法求幂的函数。
Pow:=Module[{x=a,y=b},Sow;If==0,Pow^2,Pow^2*a]]]
该函数 每调用一次就会记录当前所计算的幂的指数值。通过记录的一连串值，你可以跟踪到 计算一个较大的幂的时候 实际上是经过了多少次 函数调用。
运行Reap]
同样的，矩阵的幂运算也是这个道理， 也就是说，幂运算的复杂度是$O(lg(n))$
@mathe
除了一些内部纯粹是数值算法编写的函数其结果是数值的，其他MMA的函数带入的如果不是浮点数，结果都是符号结果（具体的数认为是无穷精度的，而不是浮点数，类似PI这种也一样认为是符号）。
比较一下如下程序所用时间
RecurrenceTable[{a==a+a+a,a==1,a==2,a==4},a,{n,1,5000}];//Timing
RecurrenceTable[{a==a+a+a,a==1.,a==2.,a==4.},a,{n,1,5000}];//Timing第一行时间比第二行长，尤其当5000变得更大时更为显著。因为第一行代码是符号计算结果，第二行是数值计算结果（因为初值后面给的是浮点整数，这才是正宗的数值计算，得到的结果就是数值结果）。
http://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2555&fromuid=865
http://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=4462&fromuid=865
@kastin 这个帖子看看有好处
mathematica 发表于 2017-5-3 13:30
http://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2555&fromuid=865
http://bbs.emath.ac.cn/forum.p ...
这个东西我知道，我在2014年特地写过Matlab版的很多数论函数（这些都是MMA有但Matlab没有的）。例如，利用Montgomery快速幂模算法来实现模幂运算
function x=powermod(n,p,m)
% Montgomery快速幂模算法 x = n^p mod m
if p==0
x=1;
return;
end
r = mod(n,m);
tmp = 1;
while p>1
if rem(p,2)==1,tmp = mod(tmp*r,m); end
r = mod(r*r,m);
p =bitshift(p,-1);
end
x=mod(r*tmp,m);
问题是MMA内部计算表达式用的不一定都是数值算法，不信你看
MatrixPower[{{1, 2}, {2, 3}}, 10^8]; // Timing (* 时间非常长 *)
MatrixPower[{{1., 2.}, {2., 3.}}, 10^8]; // Timing （* 纯数值算法计算，时间很短 *）
要注意，Timing 仅包括在计算 expr 时花费的时间，不包括在结果的格式化或输出上的时间.。为了确保这一点，上面用分号省去了结果输出。
上面第二行后面加小数点表示数字是浮点整数，第一行表示符号整数。二者数值上是一样的，但是内部计算过程就不一样。
整数大数运算自然比浮点运算慢很多
kastin 发表于 2017-5-3 14:02
这个东西我知道，我在2014年特地写过Matlab版的很多数论函数（这些都是MMA有但Matlab没有的）。例如，利 ...
嗯,是的. 这个在Mathematica里面应该是做了算法自动切换的. 根据表达式确定 计算域, 进而选择不同的算法.
第一个是 任意精度(大数)运算.,第二个是 浮点运算. 第二个应该是有精度损失的,越大越不准.
但两个算法应该都用了二分法,不矛盾.只是第一个算法的参与运算的存储结构是 高精度整数,第二个参与运算的存储类型是 浮点数,
本帖最后由 TSC999 于 2017-5-12 09:20 编辑
【数学中国】网站 elim 推出的通项公式：
用上面这个通项公式算出的结果，对于所有的自然数进行计算，结果都是接近真实值（整数）的实数，所以取其最接近的那个整数的值，即得到精确的真实值，没有任何误差！
请问，对于本问题，在理论上是否存在某个通项公式，对于任何自然数 n ， 通项公式的计算结果都是一个精确的整数？ 就像斐波那契数列的通项公式一样，虽然公式中含有根式，但是展开后却是个没有任何误差的整数。
TSC999 发表于 2017-5-12 09:09
【数学中国】网站 elim 推出的通项公式：
这个公式我在10楼提高过了呀
ToRadicals[
Root[-1 - #1 - #1^2 + #1^3 &, 1]^
n Root[-1 + 12 #1 - 44 #1^2 + 44 #1^3 &, 1]]
\[\frac{1}{44} \left(2 \sqrt{11 \left(3 \sqrt{33}+77\right)}+\sqrt{6776-264 \sqrt{33}}+44\right) 3^{-n-1} \left(\sqrt{3 \sqrt{33}+19}+\sqrt{19-3 \sqrt{33}}+1\right)^n\]