本帖最后由 王守恩 于 2017-5-14 20:22 编辑
mathe 发表于 2017-5-14 17:26
类似16#,我们先要计算$x^n(mod x^3-x-1)=u_n+v_n*x+w_n*x^2$
其中$u_1=0,v_1=1,w_1=0$
假设我们已经知道$ ...
计算通项公式时：
1，利用递推式 bn=b(n−2)+b(n−3)与利用递推式bn=b(n+1) - b(n−4)有区别吗？
2，利用递推式 bn=b(n−1)+b(n−2)+b(n - 3)与利用递推式bn=2×b(n - 1) - b(n−4)有区别吗？
3，利用递推式 bn=b(n−1)+b(n−2)+b(n - 3)+b(n - 4)与利用递推式bn=2×b(n - 1) - b(n−5)有区别吗？
4，利用递推式 bn=b(n−1)+b(n−2)+b(n - 3)+b(n - 4)+b(n - 5)与利用递推式bn=2×b(n - 1) - b(n−6)有区别吗？
我们是否还可以这样大胆去想，找通项公式会简单些？
1，平均数问题。任意一个数都是另外两个数的平均数。
2，和差问题。已知两个数的和与差，求这两个数。
因为特征方程只是3次，精确的通项公式还是可以显式表示。
RSolve[{a==a+a+a,a==1,a==2,a==4},a,n]//ToRadicals//{Flatten[#],Flatten],{i,10}]]}&
本帖最后由 TSC999 于 2017-5-15 11:47 编辑
zeroieme 发表于 2017-5-14 21:30
因为特征方程只是3次，精确的通项公式还是可以显式表示。
您这个程序前面如果加上 Simplify 还可以化简输出结果，结果中有虚数，如果设法去掉虚数，就应该跟 38# 楼那个复杂表达式是一样的吧？(* 使用另一个无误差的通项公式计算*)
a := 1/(
44 3^(n +
1)) (2 (22 + Power, (3)^-1] + Power[
847 + 33 Sqrt, (3)^-1]) (1 + Power, (
3)^-1] + Power, (3)^-1])^
n + (44 +
I (Sqrt + I) Power, (
3)^-1] + (-1 - I Sqrt) Power, (
3)^-1]) (1/
2 (2 + (-1 - I Sqrt) Power, (3)^-1] +
I (Sqrt + I) Power, (3)^-1]))^
n + (44 + (-1 - I Sqrt) Power, (3)^-1] +
I (Sqrt + I) Power, (3)^-1]) (1/
2 (2 + I (Sqrt + I) Power, (
3)^-1] + (-1 - I Sqrt) Power, (3)^-1]))^
n);
Round]
N, 100]
180396380815100901214157639
1.803963808151009012141576390000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000*10^26+0.*10^-115 I
我用下面的指令去掉了表达式中的虚数（虚数部分实际上是等于 0 的）：
In:= Simplify[
Together[ComplexExpand[
Re[1/(44 3^(n + 1)) (
2 (22 + Power, (3)^-1] + Power[
847 + 33 Sqrt, (3)^-1]) (1 + Power, (
3)^-1] + Power, (3)^-1])^
n + (44 +
I (Sqrt + I) Power, (
3)^-1] + (-1 - I Sqrt) Power, (
3)^-1]) (1/
2 (2 + (-1 - I Sqrt) Power, (3)^-1] +
I (Sqrt + I) Power, (3)^-1]))^
n + (44 + (-1 - I Sqrt) Power, (3)^-1] +
I (Sqrt + I) Power, (3)^-1]) (1/
2 (2 + I (Sqrt + I) Power, (
3)^-1] + (-1 - I Sqrt) Power, (
3)^-1]))^n)]]]](* 求表达式的实部和虚部。 *)
Simplify[Together[
ComplexExpand[
Im[1/(44 3^(n + 1)) (
2 (22 + Power, (3)^-1] + Power[
847 + 33 Sqrt, (3)^-1]) (1 + Power, (
3)^-1] + Power, (3)^-1])^
n + (44 +
I (Sqrt + I) Power, (
3)^-1] + (-1 - I Sqrt) Power, (
3)^-1]) (1/
2 (2 + (-1 - I Sqrt) Power, (3)^-1] +
I (Sqrt + I) Power, (3)^-1]))^
n + (44 + (-1 - I Sqrt) Power, (3)^-1] +
I (Sqrt + I) Power, (3)^-1]) (1/
2 (2 + I (Sqrt + I) Power, (
3)^-1] + (-1 - I Sqrt) Power, (
3)^-1]))^n)]]]]
Out= 1/22 3^(-n-3/2) (Sqrt (22+Power, (3)^-1]+Power, (3)^-1]) (1+Power, (3)^-1]+Power, (3)^-1])^n-3 Power (Power, (3)^-1]-Power, (3)^-1]) (-3-Power, (3)^-1]+(19-3 Sqrt)^(2/3)-Power, (3)^-1]+(19+3 Sqrt)^(2/3))^(n/2) sin(n (\-tan^-1((Sqrt (Power, (3)^-1]-Power, (3)^-1]))/(-2+Power, (3)^-1]+Power, (3)^-1]))))-Sqrt (-44+Power, (3)^-1]+Power, (3)^-1]) (-3-Power, (3)^-1]+(19-3 Sqrt)^(2/3)-Power, (3)^-1]+(19+3 Sqrt)^(2/3))^(n/2) cos(n (\-tan^-1((Sqrt (Power, (3)^-1]-Power, (3)^-1]))/(-2+Power, (3)^-1]+Power, (3)^-1])))))
Out= 0
TSC999 发表于 2017-5-15 11:04
您这个程序前面如果加上 Simplify 还可以化简输出结果，结果中有虚数，如果设法去掉虚数，就应该跟 38# ...
虚数、三角函数、矩阵，其实都是向量运算的不同表示方式。
本帖最后由 TSC999 于 2017-5-15 13:39 编辑
王守恩 发表于 2017-5-14 16:35
1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，28，37，49，65，86，..........
相当于有 m(m≥2) 级楼 ...
1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，28，37，49，65，86，..........
相当于有 m(m≥2) 级楼梯，每次可上2级 , 3级，有几种走法（不能上1级）。
仿照 42# 的程序，可以找到您上面这级数的通项公式：
a := 1/(23 Power, (3)^-1]) 2^(-(n/3) - 2/3)
3^(-((2 n)/3) - 3/
2) (Sqrt[
3] (-2 23^(2/3) + 23 2^(2/3) Power, (3)^-1] +
Power (23 + 3 Sqrt)^(2/3)) (Power[
9 - Sqrt, (3)^-1] + Power, (3)^-1])^n -
3 Power[23, (
3)^-1] (2 Power +
Power (23 + 3 Sqrt)^(
2/3)) (-2^(2/3) Power + (9 - Sqrt)^(
2/3) + (9 + Sqrt)^(2/3))^(n/2)
Sin +
ArcTan[(Sqrt[
3] (Power, (3)^-1] - Power, (
3)^-1]))/(
Power, (3)^-1] + Power, (
3)^-1])])] +
Sqrt (2 23^(2/3) + 46 2^(2/3) Power, (3)^-1] -
Power (23 + 3 Sqrt)^(
2/3)) (-2^(2/3) Power + (9 - Sqrt)^(
2/3) + (9 + Sqrt)^(2/3))^(n/2)
Cos +
ArcTan[(Sqrt[
3] (Power, (3)^-1] - Power, (
3)^-1]))/(
Power, (3)^-1] + Power, (
3)^-1])])]);
通项公式见下面的图片：
mathe 发表于 2017-5-14 13:28
矩阵形式和多项式环形式都是直接整数计算
你的算法,真的比矩阵类模幂算法还快吗?
aimisiyou 发表于 2017-5-1 11:27
\(f(m)=f(m-1)+f(m-2)+f(m-3),(m>=4) 其中f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4,f(4)=7……\)
小学奥数:有 n 级楼梯，每次可上1级、2级或3级，有几种走法？
一般地，如果有 n 级台阶，则共有 f(n)= f(n-1)+ f(n-2)+ f(n-3) 种走法。
\(\D f(n)=\left[\frac{\left(\frac{4}{3}\cosh(\frac{1}{3}\ln(\frac{19}{8}-\sqrt{\frac{297}{64}}))+\frac{1}{3}\right)^n}{\frac{8}{3}\cosh(\frac{2}{3}\ln(\frac{19}{8}-\sqrt{\frac{297}{64}}))+\frac{4}{3}}\right]\)
\(中括号是a取圆整，即四舍五入。答案会慢慢向整数靠拢！\)
\(f(n)=0,1,1,2,4,7,13,24,44,81,149,274,504,927,1705,...\)
王守恩 发表于 2018-6-14 13:07
小学奥数:有 n 级楼梯，每次可上1级、2级或3级，有几种走法？
一般地，如果有 n 级台阶 ...
小学奥数:有 n 级楼梯，每次可上1级、2级或3级，有几种走法？
一般地，如果有 n 级台阶，则共有 f(n)= f(n-1)+ f(n-2)+ f(n-3) 种走法。
小学生解不了，但《学生用计算器》可以算答案！
\(\D f(n)=\left[\frac{\left(\sqrt{\frac{19}{27}+\sqrt{\frac{11}{27}}}+\sqrt{\frac{19}{27}-\sqrt{\frac{11}{27}}}+\frac{1}{3}\right)^n}{\sqrt{\left(\sqrt{\frac{361}{27}}+\sqrt{\frac{297}{27}} \right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{\frac{361}{27}}-\sqrt{\frac{297}{27}}\right)^2}+\frac{4}{3}}\right]\)
\(中括号是a取圆整，即四舍五入。答案会慢慢向整数靠拢！\)
\(f(n)=0,1,1,2,4,7,13,24,44,81,149,274,504,927,1705,...\)