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楼主: TSC999

[提问] 小学奥数:有 m 级楼梯，每次可上1级、2级或3级，有几种走法？

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王守恩
发表于 2017-5-14 17:55:07 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2017-5-14 20:22 编辑
mathe 发表于 2017-5-14 17:26
类似16#,我们先要计算$x^n(mod x^3-x-1)=u_n+v_n*x+w_n*x^2$
其中$u_1=0,v_1=1,w_1=0$
假设我们已经知道$ ...


计算通项公式时：
1，利用递推式 bn=b(n−2)+b(n−3)与利用递推式bn=b(n+1) - b(n−4)有区别吗？
2，利用递推式 bn=b(n−1)+b(n−2)+b(n - 3)与利用递推式bn=2×b(n - 1) - b(n−4)有区别吗？
3，利用递推式 bn=b(n−1)+b(n−2)+b(n - 3)+b(n - 4)与利用递推式bn=2×b(n - 1) - b(n−5)有区别吗？
4，利用递推式 bn=b(n−1)+b(n−2)+b(n - 3)+b(n - 4)+b(n - 5)与利用递推式bn=2×b(n - 1) - b(n−6)有区别吗？


我们是否还可以这样大胆去想，找通项公式会简单些？
1，平均数问题。任意一个数都是另外两个数的平均数。
2，和差问题。已知两个数的和与差，求这两个数。


毋因群疑而阻独见　　毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体　　毋借公论以快私情
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zeroieme
发表于 2017-5-14 21:30:30 | 显示全部楼层
因为特征方程只是3次，精确的通项公式还是可以显式表示。
  1. RSolve[{a[n]==a[n-1]+a[n-2]+a[n-3],a[1]==1,a[2]==2,a[3]==4},a[n],n]//ToRadicals//{Flatten[#],Flatten[Table[FullSimplify[ExpandAll[#/.n->i]],{i,10}]]}&
复制代码
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TSC999
 楼主| 发表于 2017-5-15 11:04:29 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2017-5-15 11:47 编辑
zeroieme 发表于 2017-5-14 21:30
因为特征方程只是3次，精确的通项公式还是可以显式表示。


您这个程序前面如果加上 Simplify 还可以化简输出结果，结果中有虚数，如果设法去掉虚数，就应该跟 38# 楼那个复杂表达式是一样的吧？
  1. (* 使用另一个无误差的通项公式计算  *)
  2. a[n_] := 1/(
  3.    44 3^(n +
  4.      1)) (2 (22 + Power[847 - 33 Sqrt[33], (3)^-1] + Power[
  5.         847 + 33 Sqrt[33], (3)^-1]) (1 + Power[19 - 3 Sqrt[33], (
  6.         3)^-1] + Power[19 + 3 Sqrt[33], (3)^-1])^
  7.       n + (44 +
  8.         I (Sqrt[3] + I) Power[847 - 33 Sqrt[33], (
  9.          3)^-1] + (-1 - I Sqrt[3]) Power[847 + 33 Sqrt[33], (
  10.          3)^-1]) (1/
  11.         2 (2 + (-1 - I Sqrt[3]) Power[19 - 3 Sqrt[33], (3)^-1] +
  12.           I (Sqrt[3] + I) Power[19 + 3 Sqrt[33], (3)^-1]))^
  13.       n + (44 + (-1 - I Sqrt[3]) Power[847 - 33 Sqrt[33], (3)^-1] +
  14.         I (Sqrt[3] + I) Power[847 + 33 Sqrt[33], (3)^-1]) (1/
  15.         2 (2 + I (Sqrt[3] + I) Power[19 - 3 Sqrt[33], (
  16.            3)^-1] + (-1 - I Sqrt[3]) Power[19 + 3 Sqrt[33], (3)^-1]))^
  17.       n);
  18. Round[a[100]]
  19. N[a[100], 100]

  21. 180396380815100901214157639

  23. 1.803963808151009012141576390000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000*10^26+0.*10^-115 I
复制代码


我用下面的指令去掉了表达式中的虚数（虚数部分实际上是等于 0 的）：
  1. In[109]:= Simplify[
  2. Together[ComplexExpand[
  3.    Re[1/(44 3^(n + 1)) (
  4.       2 (22 + Power[847 - 33 Sqrt[33], (3)^-1] + Power[
  5.           847 + 33 Sqrt[33], (3)^-1]) (1 + Power[19 - 3 Sqrt[33], (
  6.           3)^-1] + Power[19 + 3 Sqrt[33], (3)^-1])^
  7.         n + (44 +
  8.           I (Sqrt[3] + I) Power[847 - 33 Sqrt[33], (
  9.            3)^-1] + (-1 - I Sqrt[3]) Power[847 + 33 Sqrt[33], (
  10.            3)^-1]) (1/
  11.           2 (2 + (-1 - I Sqrt[3]) Power[19 - 3 Sqrt[33], (3)^-1] +
  12.             I (Sqrt[3] + I) Power[19 + 3 Sqrt[33], (3)^-1]))^
  13.         n + (44 + (-1 - I Sqrt[3]) Power[847 - 33 Sqrt[33], (3)^-1] +
  14.           I (Sqrt[3] + I) Power[847 + 33 Sqrt[33], (3)^-1]) (1/
  15.           2 (2 + I (Sqrt[3] + I) Power[19 - 3 Sqrt[33], (
  16.              3)^-1] + (-1 - I Sqrt[3]) Power[19 + 3 Sqrt[33], (
  17.              3)^-1]))^n)]]]](* 求表达式的实部和虚部。 *)
  18. Simplify[Together[
  19.   ComplexExpand[
  20.    Im[1/(44 3^(n + 1)) (
  21.       2 (22 + Power[847 - 33 Sqrt[33], (3)^-1] + Power[
  22.           847 + 33 Sqrt[33], (3)^-1]) (1 + Power[19 - 3 Sqrt[33], (
  23.           3)^-1] + Power[19 + 3 Sqrt[33], (3)^-1])^
  24.         n + (44 +
  25.           I (Sqrt[3] + I) Power[847 - 33 Sqrt[33], (
  26.            3)^-1] + (-1 - I Sqrt[3]) Power[847 + 33 Sqrt[33], (
  27.            3)^-1]) (1/
  28.           2 (2 + (-1 - I Sqrt[3]) Power[19 - 3 Sqrt[33], (3)^-1] +
  29.             I (Sqrt[3] + I) Power[19 + 3 Sqrt[33], (3)^-1]))^
  30.         n + (44 + (-1 - I Sqrt[3]) Power[847 - 33 Sqrt[33], (3)^-1] +
  31.           I (Sqrt[3] + I) Power[847 + 33 Sqrt[33], (3)^-1]) (1/
  32.           2 (2 + I (Sqrt[3] + I) Power[19 - 3 Sqrt[33], (
  33.              3)^-1] + (-1 - I Sqrt[3]) Power[19 + 3 Sqrt[33], (
  34.              3)^-1]))^n)]]]]

  36. Out[109]= 1/22 3^(-n-3/2) (Sqrt[3] (22+Power[847-33 Sqrt[33], (3)^-1]+Power[847+33 Sqrt[33], (3)^-1]) (1+Power[19-3 Sqrt[33], (3)^-1]+Power[19+3 Sqrt[33], (3)^-1])^n-3 Power[11, (3)^-1] (Power[77-3 Sqrt[33], (3)^-1]-Power[77+3 Sqrt[33], (3)^-1]) (-3-Power[19-3 Sqrt[33], (3)^-1]+(19-3 Sqrt[33])^(2/3)-Power[19+3 Sqrt[33], (3)^-1]+(19+3 Sqrt[33])^(2/3))^(n/2) sin(n (\[Pi]-tan^-1((Sqrt[3] (Power[19+3 Sqrt[33], (3)^-1]-Power[19-3 Sqrt[33], (3)^-1]))/(-2+Power[19-3 Sqrt[33], (3)^-1]+Power[19+3 Sqrt[33], (3)^-1]))))-Sqrt[3] (-44+Power[847-33 Sqrt[33], (3)^-1]+Power[847+33 Sqrt[33], (3)^-1]) (-3-Power[19-3 Sqrt[33], (3)^-1]+(19-3 Sqrt[33])^(2/3)-Power[19+3 Sqrt[33], (3)^-1]+(19+3 Sqrt[33])^(2/3))^(n/2) cos(n (\[Pi]-tan^-1((Sqrt[3] (Power[19+3 Sqrt[33], (3)^-1]-Power[19-3 Sqrt[33], (3)^-1]))/(-2+Power[19-3 Sqrt[33], (3)^-1]+Power[19+3 Sqrt[33], (3)^-1])))))

  38. Out[110]= 0
复制代码

点评

TSC999
直接用 MMA 软件指令化简的结果，不如 36# 中那个结果简单，但仍是正确的。  发表于 2017-5-15 12:14
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zeroieme
发表于 2017-5-15 11:58:02 | 显示全部楼层
TSC999 发表于 2017-5-15 11:04
您这个程序前面如果加上 Simplify 还可以化简输出结果，结果中有虚数，如果设法去掉虚数，就应该跟 38# ...

虚数、三角函数、矩阵，其实都是向量运算的不同表示方式。

点评

TSC999
是的，其实含有虚数的公式还是非常简洁的。把虚数符号去掉以后，公式就变得异常复杂！  发表于 2017-5-15 12:18
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TSC999
 楼主| 发表于 2017-5-15 13:28:55 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2017-5-15 13:39 编辑
王守恩 发表于 2017-5-14 16:35
1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，28，37，49，65，86，..........
相当于有 m(m≥2) 级楼 ...


1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，28，37，49，65，86，..........
相当于有 m(m≥2) 级楼梯，每次可上2级 , 3级，有几种走法（不能上1级）。

仿照 42# 的程序，可以找到您上面这级数的通项公式：
  1. a[n_] := 1/(23 Power[23 + 3 Sqrt[69], (3)^-1]) 2^(-(n/3) - 2/3)
  2.     3^(-((2 n)/3) - 3/
  3.     2) (Sqrt[
  4.       3] (-2 23^(2/3) + 23 2^(2/3) Power[23 + 3 Sqrt[69], (3)^-1] +
  5.         Power[46, (3)^-1] (23 + 3 Sqrt[69])^(2/3)) (Power[
  6.         9 - Sqrt[69], (3)^-1] + Power[9 + Sqrt[69], (3)^-1])^n -
  7.      3 Power[23, (
  8.       3)^-1] (2 Power[23, (3)^-1] +
  9.         Power[2, (3)^-1] (23 + 3 Sqrt[69])^(
  10.          2/3)) (-2^(2/3) Power[3, (3)^-1] + (9 - Sqrt[69])^(
  11.         2/3) + (9 + Sqrt[69])^(2/3))^(n/2)
  12.        Sin[n (\[Pi] +
  13.           ArcTan[(Sqrt[
  14.             3] (Power[9 - Sqrt[69], (3)^-1] - Power[9 + Sqrt[69], (
  15.               3)^-1]))/(
  16.            Power[9 - Sqrt[69], (3)^-1] + Power[9 + Sqrt[69], (
  17.             3)^-1])])] +
  18.      Sqrt[3] (2 23^(2/3) + 46 2^(2/3) Power[23 + 3 Sqrt[69], (3)^-1] -
  19.          Power[46, (3)^-1] (23 + 3 Sqrt[69])^(
  20.          2/3)) (-2^(2/3) Power[3, (3)^-1] + (9 - Sqrt[69])^(
  21.         2/3) + (9 + Sqrt[69])^(2/3))^(n/2)
  22.        Cos[n (\[Pi] +
  23.           ArcTan[(Sqrt[
  24.             3] (Power[9 - Sqrt[69], (3)^-1] - Power[9 + Sqrt[69], (
  25.               3)^-1]))/(
  26.            Power[9 - Sqrt[69], (3)^-1] + Power[9 + Sqrt[69], (
  27.             3)^-1])])]);
复制代码


通项公式见下面的图片：
王守恩期待的无误差通项公式.png

点评

TSC999
经验证，上面这个通项公式是绝对精准公式、与递推公式的计算结果纹丝不差。  发表于 2017-5-15 13:42
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mathematica
发表于 2017-5-16 18:42:45 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2017-5-14 13:28
矩阵形式和多项式环形式都是直接整数计算

你的算法,真的比矩阵类模幂算法还快吗?
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王守恩
发表于 2018-6-14 13:07:35 | 显示全部楼层
aimisiyou 发表于 2017-5-1 11:27
\(f(m)=f(m-1)+f(m-2)+f(m-3),(m>=4) 其中f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4,f(4)=7……\)


              小学奥数:有 n 级楼梯，每次可上1级、2级或3级，有几种走法？
一般地，如果有 n 级台阶，则共有 f(n)= f(n-1)+ f(n-2)+ f(n-3) 种走法。


\(\D f(n)=\left[\frac{\left(\frac{4}{3}\cosh(\frac{1}{3}\ln(\frac{19}{8}-\sqrt{\frac{297}{64}}))+\frac{1}{3}\right)^n}{\frac{8}{3}\cosh(\frac{2}{3}\ln(\frac{19}{8}-\sqrt{\frac{297}{64}}))+\frac{4}{3}}\right]\)

\(中括号[a]是a取圆整，即四舍五入。答案会慢慢向整数靠拢！\)

\(f(n)=0,1,1,2,4,7,13,24,44,81,149,274,504,927,1705,...\)
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王守恩
发表于 2018-6-15 12:22:32 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2018-6-14 13:07
小学奥数:有 n 级楼梯，每次可上1级、2级或3级，有几种走法？
一般地，如果有 n 级台阶 ...



              小学奥数:有 n 级楼梯，每次可上1级、2级或3级，有几种走法？
一般地，如果有 n 级台阶，则共有 f(n)= f(n-1)+ f(n-2)+ f(n-3) 种走法。

小学生解不了，但《学生用计算器》可以算答案！



       \(\D f(n)=\left[\frac{\left(\sqrt[3]{\frac{19}{27}+\sqrt{\frac{11}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{19}{27}-\sqrt{\frac{11}{27}}}+\frac{1}{3}\right)^n}{\sqrt[3]{\left(\sqrt{\frac{361}{27}}+\sqrt{\frac{297}{27}} \right)^2}+\sqrt[3]{\left(\sqrt{\frac{361}{27}}-\sqrt{\frac{297}{27}}\right)^2}+\frac{4}{3}}\right]\)

       \(中括号[a]是a取圆整，即四舍五入。答案会慢慢向整数靠拢！\)

       \(f(n)=0,1,1,2,4,7,13,24,44,81,149,274,504,927,1705,...\)



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