这个高考题不等式如何证明?
a*b*c=8a b c都是正数
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如何证明?
穷举法万岁!数值解万岁!mathematica万岁! 记 `x=\ln a,y=\ln b,z=\ln c`，则 `x+y+z=3\ln 2`，考虑函数`\D f(u)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm e^u+1}}+ \frac{\sqrt{3}}{9}(u-\ln 2)`，原不等式于是等价为证明 `1 < f(x)+f(y)+f(z) < 2`
先令二阶导函数 `f''(u)=0`，得到拐点 `u=\ln 2`，从而导函数 `f'(u) \geqslant f'(\ln 2)=0`，这意味着 `f(u) ` 为增函数，且在 `(-\infty,\ln2]`内上凹，在`[\ln2,\infty)`内下凸。
利用http://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=2488&pid=30423&fromuid=8865的结论（注意mathe的结论是针对于先下凸后上凹，这里得反过来使用），或者https://artofproblemsolving.com/community/c6h64933的结论，可知 `x\to -\infty,y=z\to +\infty` 时，即 `a\to 0,b=c\to +\infty` 时逼近最小值 `1`，当 `x=y\to -\infty,z\to +\infty` 即 `a=b \to 0,c\to +\infty` 时逼近最大值 `2`.
那个问题就是定理中的（2）的情形 Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
f=1/Sqrt+1/Sqrt+1/Sqrt+x*(a*b*c-8)
fa=D
fb=D
fc=D
fx=D
out=NSolve[{fa==0,fb==0,fc==0,fx==0},{a,b,c,x},200]
cc=(f/.out)
RootApproximant
根据代码结果,只在实数区域内有a=b=c=2的驻点
{{a -> -1.0000000000000000000 - 1.7320508075688772935 I,
b -> -1.0000000000000000000 - 1.7320508075688772935 I,
c -> -1.0000000000000000000 - 1.7320508075688772935 I,
x -> 0.05296791160077942663 +
0.014192709138191943341 I}, {a -> -1.0000000000000000000 +
1.7320508075688772935 I,
b -> -1.0000000000000000000 + 1.7320508075688772935 I,
c -> -1.0000000000000000000 + 1.7320508075688772935 I,
x -> 0.05296791160077942663 - 0.014192709138191943341 I}, {a -> 2.,
b -> 2., c -> 2.0000, x -> 0.0240563}, {a -> 2., b -> 2.,
c -> 2.0000, x -> 0.0240563}, {a -> 2., b -> 2., c -> 2.0000,
x -> 0.0240563}, {a -> 2., b -> 2., c -> 2.0000, x -> 0.0240563}}
{1.611854897735312879 + 1.611854897735312879 I,
1.611854897735312879 -
1.611854897735312879 I, 1.73205, 1.73205, 1.73205, 1.73205}
{Root,
Root, Sqrt, Sqrt, Sqrt, Sqrt}
kastin 发表于 2017-7-3 13:43
记 `x=\ln a,y=\ln b,z=\ln c`，则 `x+y+z=3\ln 2`，考虑函数`\D f(u)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm e^u+1}}+ \f ...
函数的最大值最小值
必然在
区间端点\驻点\不可导点取的,
没有不可导的点,
所以先求的驻点,
然后再把无穷的边界点带入,
有一个是正无穷,有两个是正无穷,不可能三个正无穷
有一个正无穷,则取值2
有两个正无穷,则取值1
驻点的是a=b=c=2
值是根号3
所以是1~2 Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
f=1/x+1/y+1/z+n*((x^2-1)(y^2-1)(z^2-1)-8)
fx=D
fy=D
fz=D
fn=D
out=Solve[{fx==0,fy==0,fz==0,fn==0},{x,y,z,n},Reals]
FullSimplify
换元法换一下,mathematica就能求解出解析解了
\[\left\{\left\{x\to -\sqrt{3},y\to -\sqrt{3},z\to -\sqrt{3},n\to -\frac{1}{24 \sqrt{3}}\right\},\left\{x\to \sqrt{3},y\to \sqrt{3},z\to \sqrt{3},n\to \frac{1}{24 \sqrt{3}}\right\}\right\}\]
\[\left\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\right\}\]
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