这个高考题不等式如何证明?

mathematica

a*b*c=8
a b c都是正数
\[1<\frac{1}{\sqrt{a+1}}+\frac{1}{\sqrt{b+1}}+\frac{1}{\sqrt{c+1}}<2\]

如何证明?

zeroieme

穷举法万岁!数值解万岁!mathematica万岁!

kastin

记 `x=\ln a,y=\ln b,z=\ln c`，则 `x+y+z=3\ln 2`，考虑函数`\D f(u)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm e^u+1}}+ \frac{\sqrt{3}}{9}(u-\ln 2)`，原不等式于是等价为证明 `1 < f(x)+f(y)+f(z) < 2`
先令二阶导函数 `f''(u)=0`，得到拐点 `u=\ln 2`，从而导函数 `f'(u) \geqslant f'(\ln 2)=0`，这意味着 `f(u) ` 为增函数，且在 `(-\infty,\ln2]`内上凹，在`[\ln2,\infty)`内下凸。
利用http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 23&fromuid=8865的结论（注意mathe的结论是针对于先下凸后上凹，这里得反过来使用），或者https://artofproblemsolving.com/community/c6h64933的结论，可知 `x\to -\infty,y=z\to +\infty` 时，即 `a\to 0,b=c\to +\infty` 时逼近最小值 `1`，当 `x=y\to -\infty,z\to +\infty` 即 `a=b \to 0,c\to +\infty` 时逼近最大值 `2`.

hejoseph

hejoseph

那个问题就是定理中的（2）的情形

mathematica

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. f=1/Sqrt[1+a]+1/Sqrt[1+b]+1/Sqrt[1+c]+x*(a*b*c-8)
   
3. fa=D[f,a]
   
4. fb=D[f,b]
   
5. fc=D[f,c]
   
6. fx=D[f,x]
   
7. out=NSolve[{fa==0,fb==0,fc==0,fx==0},{a,b,c,x},200]
   
8. cc=(f/.out)
   
9. RootApproximant[cc]
   

复制代码

根据代码结果,只在实数区域内有a=b=c=2的驻点
{{a -> -1.0000000000000000000 - 1.7320508075688772935 I,
  b -> -1.0000000000000000000 - 1.7320508075688772935 I,
  c -> -1.0000000000000000000 - 1.7320508075688772935 I,
  x -> 0.05296791160077942663 +
    0.014192709138191943341 I}, {a -> -1.0000000000000000000 +
    1.7320508075688772935 I,
  b -> -1.0000000000000000000 + 1.7320508075688772935 I,
  c -> -1.0000000000000000000 + 1.7320508075688772935 I,
  x -> 0.05296791160077942663 - 0.014192709138191943341 I}, {a -> 2.,
  b -> 2., c -> 2.0000, x -> 0.0240563}, {a -> 2., b -> 2.,
  c -> 2.0000, x -> 0.0240563}, {a -> 2., b -> 2., c -> 2.0000,
  x -> 0.0240563}, {a -> 2., b -> 2., c -> 2.0000, x -> 0.0240563}}

{1.611854897735312879 + 1.611854897735312879 I,
1.611854897735312879 -
  1.611854897735312879 I, 1.73205, 1.73205, 1.73205, 1.73205}

{Root[27 + #1^4 &, 4],
Root[27 + #1^4 &, 3], Sqrt[3], Sqrt[3], Sqrt[3], Sqrt[3]}

mathematica

kastin 发表于 2017-7-3 13:43
记 `x=\ln a,y=\ln b,z=\ln c`，则 `x+y+z=3\ln 2`，考虑函数`\D f(u)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm e^u+1}}+ \f ...

函数的最大值最小值
必然在
区间端点\驻点\不可导点取的,
没有不可导的点,
所以先求的驻点,
然后再把无穷的边界点带入,
有一个是正无穷,有两个是正无穷,不可能三个正无穷
有一个正无穷,则取值2
有两个正无穷,则取值1
驻点的是a=b=c=2
值是根号3
所以是1~2

mathematica

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. f=1/x+1/y+1/z+n*((x^2-1)(y^2-1)(z^2-1)-8)
   
3. fx=D[f,x]
   
4. fy=D[f,y]
   
5. fz=D[f,z]
   
6. fn=D[f,n]
   
7. out=Solve[{fx==0,fy==0,fz==0,fn==0},{x,y,z,n},Reals]
   
8. FullSimplify[f/.out]
   

复制代码

换元法换一下,mathematica就能求解出解析解了

\[\left\{\left\{x\to -\sqrt{3},y\to -\sqrt{3},z\to -\sqrt{3},n\to -\frac{1}{24 \sqrt{3}}\right\},\left\{x\to \sqrt{3},y\to \sqrt{3},z\to \sqrt{3},n\to \frac{1}{24 \sqrt{3}}\right\}\right\}\]

\[\left\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\right\}\]