寻找完全平方数 k^2+(k+1)^2

wayne

你的方法也很好啊，在你的基础上，把那个$sqrt(2)$的连分式用递推公式表达，似乎就可以得到
a(0) = 0, a(1) = 3.
a(n)=6a(n-1)-a(n-2)+2

太棒了，谢谢你的提醒！！！

wayne

“破方程”是啥意思，litaoye ，你能给我详细解释一下吗，或者给一个链接，我搜不到有用信息，谢谢了

medie2005

"破方程"="pell方程"

wayne

haha,让你见笑了

kofeffect

发现直接解方程也可以很快得到前面的一些结果：

1. 
   
2. In[24]:= MAX = 10^20;
   
3. Reduce[x^2 + (x + 1)^2 == z^2 && 1 <= x <= MAX && z > 1, {x,
   
4.   z}, Integers]
   
5. 
   
6. Out[25]= (x == 3 && z == 5) || (x == 20 && z == 29) || (x == 119 &&
   
7.    z == 169) || (x == 696 && z == 985) || (x == 4059 &&
   
8.    z == 5741) || (x == 23660 && z == 33461) || (x == 137903 &&
   
9.    z == 195025) || (x == 803760 && z == 1136689) || (x == 4684659 &&
   
10.    z == 6625109) || (x == 27304196 &&
    
11.    z == 38613965) || (x == 159140519 &&
    
12.    z == 225058681) || (x == 927538920 &&
    
13.    z == 1311738121) || (x == 5406093003 &&
    
14.    z == 7645370045) || (x == 31509019100 &&
    
15.    z == 44560482149) || (x == 183648021599 &&
    
16.    z == 259717522849) || (x == 1070379110496 &&
    
17.    z == 1513744654945) || (x == 6238626641379 &&
    
18.    z == 8822750406821) || (x == 36361380737780 &&
    
19.    z == 51422757785981) || (x == 211929657785303 &&
    
20.    z == 299713796309065) || (x == 1235216565974040 &&
    
21.    z == 1746860020068409) || (x == 7199369738058939 &&
    
22.    z == 10181446324101389) || (x == 41961001862379596 &&
    
23.    z == 59341817924539925) || (x == 244566641436218639 &&
    
24.    z == 345869461223138161) || (x == 1425438846754932240 &&
    
25.    z == 2015874949414289041) || (x == 8308066439093374803 &&
    
26.    z == 11749380235262596085) || (x == 48422959787805316580 &&
    
27.    z == 68480406462161287469)
    

复制代码

wayne

根据282842712474 的思路，所求的k值就是$sqrt(2)$的不足近似分数的分子减去1，再除以2。
于是得此算法，速度自然是超级的快：

1. In[14]:= a = {1}; Table[1/2 (Numerator@FromContinuedFraction[a = Join[a, {2, 2}]] - 1), {i, 20}]
   
2. 
   
3. Out[14]= {3, 20, 119, 696, 4059, 23660, 137903, 803760, 4684659, \
   
4. 27304196, 159140519, 927538920, 5406093003, 31509019100, \
   
5. 183648021599, 1070379110496, 6238626641379, 36361380737780, \
   
6. 211929657785303, 1235216565974040}

复制代码

wayne

其实mathematica很强大，可以仅仅根据序列的前几个值就可以自动找出该序列的通项公式，

1. In[91]:= Floor[(Sqrt[2] + 1)^(2 n + 1)/4] /. n -> Range[13]
   
2. 
   
3. Out[91]= {3, 20, 119, 696, 4059, 23660, 137903, 803760, 4684659, \
   
4. 27304196, 159140519, 927538920, 5406093003}

复制代码

mathematica

其实只要wayne看过潘承洞的简明数论,这个问题很简单的,在那本书的最后一章,他的书写得很好!推荐去看一看,如果你对数论有那么一点点兴趣的话!

mathematica

也就是说连分数的那一章,很有趣的,可以看看!

mathematica

wayne应该是湖北人吧,在北京读书?