分圆方程式根式求解

wangfeizaaq

想知道：   范德蒙根式解11次分圆方程式
                                    x11+x10+…+x+1=0                                   
的方法。
请高人指点，谢谢！

mathematica

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. Grid@NSolve[Plus@@Table[x^k,{k,0,11}]==0,{x},10]
   

复制代码

\[\{\{x\to -1.000000000\},\{x\to -0.8660254038-0.5000000000 i\},\{x\to -0.8660254038+0.5000000000 i\},\{x\to -0.5000000000-0.8660254038 i\},\{x\to -0.5000000000+0.8660254038 i\},\{x\to -1.000000000 i\},\{x\to 1.000000000 i\},\{x\to 0.5000000000-0.8660254038 i\},\{x\to 0.5000000000+0.8660254038 i\},\{x\to 0.8660254038-0.5000000000 i\},\{x\to 0.8660254038+0.5000000000 i\}\}\]

mathematica

1. ToRadicals/@Table[ComplexExpand@Exp[2*Pi/12*k*I],{k,0,11}]
   

复制代码

\[\left\{1,\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2},\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2},i,-\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2},-1,-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2},-\frac{1}{2}-\frac{i \sqrt{3}}{2},-i,\frac{1}{2}-\frac{i \sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right\}\]

稍微灵活一点,转换思维方式

zeroieme

\(\left(x^{11}+x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\right) (x-1)=0\)引入增根得到\(x^{12}=1\)
所以\(x=e^{\frac{2 \pi  i}{12} n}\)！！注意n=12k是即x=1是增根要剔除，不剔除的是脑子不正常。！！

wangfeizaaq

感谢各位，前面打错
应该是范德蒙根式解分圆方程式
                                    x10+x9+…+x+1=0                                   
的方法。
请高人指点，谢谢！

zeroieme

wangfeizaaq 发表于 2018-3-16 11:40
感谢各位，前面打错
应该是范德蒙根式解分圆方程式
                                    x10+x9+…+x+1= ...

一样的方法
\(\left(x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\right) (x-1)=0\)引入增根得到\(x^{11}=1\)
所以\(x=e^{\frac{2 \pi  i}{11} n}\)剔除增根\(n=11k\)

wangfeizaaq

这个知道，问题是我想得到的不是超越形式的解，而是根式解

zeroieme

wangfeizaaq 发表于 2018-3-16 16:13
这个知道，问题是我想得到的不是超越形式的解，而是根式解

这个超越与根式的界限，看你怎么理解了，参考https://bbs.emath.ac.cn/thread-15247-1-1.html

葡萄糖

逛某乎看到
https://www.zhihu.com/question/53439800/answer/2158719478

\begin{align*}
\exp\!\left(\dfrac{\>2\pi\,\!i\>}{11}\right)
&=\dfrac{1}{5}\sqrt[5]{\frac{11}{4}\left(33+5 \sqrt{5}\right)-\frac{5}{2} \sqrt{22 \left(65+19\sqrt{5}\right)}-i\left[\frac{\sqrt{11}}{2}\left(49+15 \sqrt{5}\right)-\frac{55}{4}\sqrt{2\left(25+11\sqrt{5}\right)}\right]}\\
&\qquad-\dfrac{1}{5}\sqrt[5]{\frac{11}{4}\left(33-5 \sqrt{5}\right)-\frac{5}{2} \sqrt{22 \left(65-19\sqrt{5}\right)}-i\left[\frac{\sqrt{11}}{2}\left(49-15 \sqrt{5}\right)+\frac{55}{4}\sqrt{2\left(25-11\sqrt{5}\right)}\right]}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{4}+i\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}\right)\\
&\qquad\qquad+\dfrac{1}{5}\sqrt[5]{\frac{11}{4}\left(33+5 \sqrt{5}\right)+\frac{5}{2} \sqrt{22 \left(65+19\sqrt{5}\right)}-i\left[\frac{\sqrt{11}}{2}\left(49+15 \sqrt{5}\right)+\frac{55}{4}\sqrt{2\left(25+11\sqrt{5}\right)}\right]}\left(-\frac{1-\sqrt{5}}{4}+i\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}\right)\\
&\qquad\qquad\qquad+\dfrac{1}{5}\sqrt[5]{\frac{11}{4}\left(33-5 \sqrt{5}\right)+\frac{5}{2} \sqrt{22 \left(65-19\sqrt{5}\right)}-i\left[\frac{\sqrt{11}}{2}\left(49-15 \sqrt{5}\right)-\frac{55}{4}\sqrt{2\left(25-11\sqrt{5}\right)}\right]} \\
&\qquad\qquad\qquad\qquad-\dfrac{1-i\sqrt{11}}{10}
\end{align*}

wayne

我来给个稍微不那么显然的问题：求方程是否存在根式表达： $1 - x + x^3 - x^4 + x^5 + 5 x^6 + 4 x^7 + x^8 = 0$