[逆问题之一] 三角代数数根的判定

wayne

π的有理数的倍数的三角函数值都是代数数，我们称之为三角代数数，那么，给定一个整系数多项式方程，如何判定该方程是否存在三角代数数的根．
［网上没搜到三角代数数的定义，咱们姑且先这么叫］
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换种说法，已知某不可约的整系数多项式$f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i$，首项为正, 求是否存在非平凡的实数$t$,$t=\sin\alpha$或者$t=\cos\alpha$,或者$t=\tan\alpha$($\alpha$是$\pi$的有理数倍)，以及有理系数多项式$g(x)=\sum_{i=0}^{m}b_ix^i$,使得$f(g(t))=0$
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１）题目比较一般，可能不便于讨论，我就先制造一个例子，谁能反推出来就算成功，不过，最终目的还是为了一般化这个求解过程
\(1073741824 x^{10}+10737418240 x^9+43520098304 x^8+90462748672 x^7+99435675648 x^6+51690078208 x^5+7270023168 x^4-1271988224 x^3-38138880 x^2+5642240 x-50819=0\)

２）同样的，我用正切函数也造了一个多项式，求逆推之普适方法．$f(g(\tan\beta))=0$,

\(f(x)=x^{10}+20 x^9-122811 x^8-1966896 x^7+15561914 x^6+296910648 x^5+1139798746 x^4+613162576 x^3-3616695915 x^2-5360769068 x-1663919311=0\)

mathe

什么意思？也就是说假设x_i是f(x)的一个根，要求构造多项式g使得$g(sin(\alpha))=x_i$,这样多项式应该非常容易构造，也非常之多。

mathe

我们可以将条件中整系数推广到高斯整数范围（也就是$a+bi$,其中$a,b$都是整数)
那么容易得出如果题目总是成立，那么必然存在有理角度$\beta$，h使得$f(h(exp(-i\beta)))=0$即可
也就是$f(h(x))$被某个分圆多项式整除，其加洛瓦群必然是循环群，所以这个应该不是普遍成立的。

mathe

好像条件成立要求f有根式解

lsr314

第一个方程有十个根，其中一个根为$x=-1-2 Sin(pi/11)+ Sin(pi/11)^3$

第二个方程也有十个根，其中一个根为$x=-2-2tan(pi/11)-tan(pi/11)^3$

代码：

1. ToNumberField[x/.Solve[-1663919311-5360769068x-3616695915x^2+613162576x^3+1139798746x^4+296910648x^5+15561914x^6-1966896x^7-122811x^8+20x^9+x^10==0,x][[1]],Tan[Pi/11]]

复制代码

lsr314

mathe 发表于 2018-1-31 21:23
好像条件成立要求f有根式解

有理数角度的三角函数值本身并不一定能用根式表示

mathe

lsr314 发表于 2018-2-1 10:39
有理数角度的三角函数值本身并不一定能用根式表示

根式解你是怎么理解的呢？如果我们考虑开n次方的所有结果（n种）作为根式形式，那么三角函数值是没有问题
因为exp(i*k*2pi/n)本身就是根式形式，而正弦和余弦都是两个这样形式数的线性组合

mathe

https://arxiv.org/abs/1209.5137
The inverse function of a polynomial with complex
coefficients can be represented by radicals if and only if the polynomial is
a composition of linear polynomials, the power polynomials z → z
n , Chebyshev polynomials and polynomials of degree 4.
Chebyshev多项式的根就是有理角度的余弦值。

wayne

http://mathworld.wolfram.com/AlgebraicInteger.html

However, Abel's impossibility theorem shows that there are algebraic integers of degree >=5 which are not expressible in terms of addition, subtraction, multiplication, division, and root extraction (the elementary operations) on rational numbers. In fact, if elementary operations are allowed on real numbers only, then there are real numbers which are algebraic integers of degree 3 that cannot be so expressed.

这里有说，开n次方是对有理数操作的．

lsr314

mathe 发表于 2018-2-1 11:48
根式解你是怎么理解的呢？如果我们考虑开n次方的所有结果（n种）作为根式形式，那么三角函数值是没有问题 ...

应该是允许复数的，确实可以，一下想错了