双心三角形顶点和对边切点连线的交点的轨迹

mathe

能判断新圆是否和两个原先的圆同根轴吗？

zeroieme

\(d^6-9 d^4+\left(9-d^2\right) x^2+8 \left(d^2-3\right) d x+\left(9-d^2\right) y^2+16 d^2=0\)
变形为\[\left(x-\frac{4 d \left(d^2-3\right)}{d^2-9}\right)^2+y^2=\left(\frac{d^2 \left(d^2-1\right)}{d^2-9}\right)^2\]
圆心\(\D\left\{\frac{4 d \left(d^2-3\right)}{d^2-9},0\right\}\)，半径\(\D\frac{d^2 \left(d^2-1\right)}{d^2-9}\)

1. Plot[(d^2 (-1 + d^2))/(-9 + d^2), {d, 0, 1}]
   
2. Maximize[{(d^2 (-1 + d^2))/(-9 + d^2), 0 <= d <= 1}, d] // N

复制代码

当双心圆圆心距为\(0.717439\) 时小圆半径最大\(0.0294373\)
@mathe可以验证一下。

lsr314

10#的方程包含一个圆和两个椭圆，虽然没有仔细计算，猜测这个圆的圆心分别是两个椭圆的焦点。位置关系如下：

mathe

zeroieme 发表于 2019-3-4 18:14
\(d^6-9 d^4+\left(9-d^2\right) x^2+8 \left(d^2-3\right) d x+\left(9-d^2\right) y^2+16 d^2=0\)
变形 ...

可以写成如下形式，所以的确是同根轴的圆
$(3*d^2-3)*(x^2+y^2-1)-4*(d^2-3)*((x-d)^2+y^2-(1-d^2)^2/4)=0$

wayne

用Geogebra画了下，确实是一个圆，很小，看上去确实是同轴的，跟内心，外心是共线的。证实了你们的讨论，可以在线玩动态图.
https://www.geogebra.org/m/h9w2xp87

wayne

附上gga的文件，谁安装了Geogebra可以打开玩玩，无限放大。 放大后也很圆很圆。 cc.ggb (22.1 KB, 下载次数: 2)

2019-3-4 22:19 上传

点击文件名下载附件

lsr314

谁来研究一下五边形的作图，看看轨迹是否也是一个圆

补充内容 (2019-3-5 12:10):
五边形顶点和对应切点的连线已经不交于一点了，也不存在轨迹问题了

wayne

我觉得可以通过平面几何的方法证明是圆。在这里，我们的不变量是三个。外接圆，内切圆的半径$R,r$，圆心距$d$, 变量是$A$点的坐标。我们将所有的量尽可能的转化成这三个不变量,以及变量$A$来表达。
运用梅涅劳斯定理，$△ACF$被直线$EGB$切割，于是有：$\frac{AE}{EC}\frac{CG}{GF}\frac{FB}{BA} =1$ ,也就是说$\frac{CG}{GF} = \frac{AB*CD}{AF*BF} = \frac{c(s-c)}{(s-a)(s-b)},  s=(a+b+c)/2,$

用Geogebra验证了，三角形的重心$M$，垂心$H$的轨迹 也是同轴的圆。所以猜测三角形内的所有确定的心的轨迹都应该是 同轴的圆。证明方法应该是类似的。就是找到两处三角形的边跟轴垂直的地方，求出中心[即圆心]，进而用不变量 $R,r,d$来表达 "半径"。
如前面lsr314所言，绕三圈是因为三角形的三个边都要跟对称轴 垂直一次。

lsr314

如图，五边形时连线不交于一点

lsr314

在三角形内分别作三个与内切圆和两边相切的圆，连接对应的切点的三条直线交于一点。

这个特殊点的轨迹并不是圆，有点像椭圆（红色）。（旁边的圆是三角形顶点和切点连线交点的轨迹）