双心三角形顶点和对边切点连线的交点的轨迹

lsr314

四边形的重心的轨迹是一个通过内切圆圆心的圆。
五边形的重心的轨迹与圆差异较明显，图中精确度调到了15位，而且做了两个不同半径比例的图都是这个形状，应该不是作图误差。（图中红色是轨迹，橙色是过轨迹上三点的圆。）

mathe

垂心的确很接近圆，我是在轨迹上挑了很接近的三点然后过三点做圆比较

mathe

如果我们把整个平面看成复平面，外心O看出原点，内心I看成单位点1，另外再挑一个不在实数轴的点比如重心，设为变复数G.
设三角形三顶点为变复数A,B,C.我们根据上面上个点的面积坐标就可以得出三个方程，如
$G=(A+B+C)/3, 1=(aA+bB+cC)/(a+b+c)$，外心表达式稍微复杂些$0=a^2(b^2+c^2-a^2)A+b^2(a^2+c^2-b^2)B+c^2(a^2+b^2-c^2)C$,然后就可以解出A,B,C的表达式。同样对于其它任意心，我们也可以再利用其面积坐标再把A,B,C的表达式代入，把任意一个其它写成关于实数参数a,b,c和复数参数G.由于各心的对称心对称心，最终化简后表达式应该关于a,b,c对称，于是我们可以将各系数用r,R,s替换，最后写成f(r,R,s,G)的形式。如果最终结果不含s,由于r,R是常数，如果G的轨迹是圆而且上面表达是是G的分数线性形式，那么结果轨迹也必然是圆。另外参数设计假设了d=1,所以r,R直接有了额外的约束1=R(R-2r)。而G本身也应该可以写成s的表达式(比如二次形式)，但是还没想好如何表示

mathe

利用表达式$|A|^2+|B|^2+|C|^2=3R^2$应该还可以得出一个关于G,s的方程

mathe

上面过程G也可以直接用其它中心X替换，都可以求得一个类似$A=u(a,b,c)X+v(a,b,c)$的形式，而B,C是轮换表示。然后代入$A\bar{A}+B\bar{B}+C\bar{C}=3R^2$可以变化为形如$h+m(X+\bar{X})+nX\bar{X}=0$,其中h,m,n关于a,b,c必然全对称。可以分别替换为r,R,s.如果这时可以得出和s无关的表达式，那么就代表这个点轨迹必然是圆。因为这时方程可改写为$(X+m/n)(\bar{X}+m/n)={m^2}/{n^2}-h$.

mathe

但是通常情况上面一条关于X的方程带有参数s,并不能确定出X的图像。于是我们应该可以继续利用$A^2\bar{A}^2+B^2\bar{B}^2+C^2\bar{C}^2=3R^4$
这样应该可以得出X关于s的另外一条参数方程。消去s将可以得出X的方程

数学星空

根据楼上mathe的计算方案可以得到如下结果：

1.对重心G最终消元分解可以得到：

   \(9G^2R^2-12GR^2d+4R^2d^2-d^4=0\)

    若作变换\(G=\frac{xx_0+yy_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}},G^2=x^2+y^2,d^2=x_0^2+y_0^2\)

    我们可以得到最终正确的轨迹：\(-12(xx_0+yy_0)R^2+4R^2(x_0^2+y_0^2)-(x_0^2+y_0^2)^2+9(x^2+y^2)R^2=0\)

    可以简化为\((3x-2x_0)^2+(3y-2y_0)^2=(\frac{(x_0^2+y_0^2)}{R})^2\)

2.对于热尔岗点我们计算得到：

  \(2160R^{20}T^4-11040R^{20}T^3d+21120R^{20}T^2d^2-17920R^{20}Td^3+5689R^{20}d^4+69984R^{18}T^6-575424R^{18}T^5d+1942248R^{18}T^4d^2-3449328R^{18}T^3d^3+3402260R^{18}T^2d^4-1768032R^{18}Td^5+378250R^{18}d^6-944784R^{16}T^8+9867744R^{16}T^7d-45104688R^{16}T^6d^2+118149408R^{16}T^5d^3-194401794R^{16}T^4d^4+206074448R^{16}T^3d^5-137562032R^{16}T^2d^6+52876864R^{16}Td^7-8955193R^{16}d^8+52488R^{14}T^8d^2-3020976R^{14}T^7d^3+24655428R^{14}T^6d^4-92081280R^{14}T^5d^5+195417284R^{14}T^4d^6-252220816R^{14}T^3d^7+197331068R^{14}T^2d^8-86489216R^{14}Td^9+16356668R^{14}d^{10}+204849R^{12}T^8d^4-1450224R^{12}T^7d^5+1662240R^{12}T^6d^6+13482208R^{12}T^5d^7-59533614R^{12}T^4d^8+111035184R^{12}T^3d^9-111368696R^{12}T^2d^{10}+58945888R^{12}Td^{11}-12979977R^{12}d^{12}-137214R^{10}T^8d^6+1271664R^{10}T^7d^7-4908212R^{10}T^6d^8+8882592R^{10}T^5d^9-3450368R^{10}T^4d^{10}-15160080R^{10}T^3d^{11}+28600300R^{10}T^2d^{12}-20758752R^{10}Td^{13}+5663850R^{10}d^{14}+45855R^8T^8d^8-460880R^8T^7d^9+1992248R^8T^6d^{10}-4815872R^8T^5d^{11}+6570466R^8T^4d^{12}-3720528R^8T^3d^{13}-1916096R^8T^2d^{14}+3760384R^8Td^{15}-1459735R^8d^{16}-8444R^6T^8d^{10}+94384R^6T^7d^{11}-439460R^6T^6d^{12}+1142720R^6T^5d^{13}-1839852R^6T^4d^{14}+1756944R^6T^3d^{15}-690652R^6T^2d^{16}-234432R^6Td^{17}+221744R^6d^{18}+863R^4T^8d^{12}-10896R^4T^7d^{13}+56048R^4T^6d^{14}-155296R^4T^5d^{15}+262910R^4T^4d^{16}-286736R^4T^3d^{17}+178728R^4T^2d^{18}-28576R^4Td^{19}-18368R^4d^{20}-46R^2T^8d^{14}+656R^2T^7d^{15}-3788R^2T^6d^{16}+11488R^2T^5d^{17}-20352R^2T^4d^  18+22912R^2T^3d^{19}-16672R^2T^2d^{20}+5504R^2Td^21+640R^2d^22+T^8d^{16}-16T^7d^{17}+104T^6d^{18}-352T^5d^{19}+672T^4d^{20}-768T^3d^21+576T^2d^22-256Td^23=0\)

  \( 3R^2T-4R^2d-RTd+Rd^2+d^3=0\)

   第二个式子若作变换\(T=\frac{xx_0+yy_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}},T^2=x^2+y^2,d^2=x_0^2+y_0^2\)得到的

    \(-9R^4x^2x_0^2+24R^4xx_0^3-18R^4xx_0yy_0+24R^4xx_0y_0^2-16R^4x_0^4+24R^4x_0^2yy_0-32R^4x_0^2y_0^2-9R^4y^2y_0^2+24R^4yy_0^3-16R^4y_0^4+R^2x^2x_0^4+R^2x^2x_0^2y_0^2-8R^2xx_0^5+2R^2xx_0^3yy_0-16R^2xx_0^3y_0^2+2R^2xx_0yy_0^3-8R^2xx_0y_0^4+9R^2x_0^6-8R^2x_0^4yy_0+27R^2x_0^4y_0^2+R^2x_0^2y^2y_0^2-16R^2x_0^2yy_0^3+27R^2x_0^2y_0^4+R^2y^2y_0^4-8R^2yy_0^5+9R^2y_0^6-x_0^8-4x_0^6y_0^2-6x_0^4y_0^4-4x_0^2y_0^6-y_0^8=0\)

    与正确不符：

     正确应为：\(-x_0^8-y_0^8+16x_0^6+16y_0^6-R^4x_0^4-R^4y_0^4+2R^2x_0^6+2R^2y_0^6-4x_0^6y_0^2-6x_0^4y_0^4-4x_0^2y_0^6-96R^2x_0^4-96R^2y_0^4+48x_0^4y_0^2+48x_0^2y_0^4-2R^4x_0^2y_0^2+6R^2x_0^4y_0^2+6R^2x_0^2y_0^4-192R^2x_0^2y_0^2+(81R^4-18R^2x_0^2-18R^2y_0^2+x_0^4+2x_0^2y_0^2+y_0^4)x^2+(-216R^4x_0+96R^2x_0^3+96R^2x_0y_0^2-8x_0^5-16x_0^3y_0^2-8x_0y_0^4)x+(81R^4-18R^2x_0^2-18R^2y_0^2+x_0^4+2x_0^2y_0^2+y_0^4)y^2+(-216R^4y_0+96R^2x_0^2y_0+96R^2y_0^3-8x_0^4y_0-16x_0^2y_0^3-8y_0^5)y+144R^4x_0^2+144R^4y_0^2=0\)

3.对于垂心H我们可以得到：

    \(16H^8R^6+8H^8R^4d^2-H^8R^2d^4+H^8d^6-224H^7R^6d-48H^7R^4d^3-16H^7R^2d^5-96H^6R^8+1168H^6R^6d^2+204H^6R^4d^4+12H^6R^2d^6-8H^6d^8+1344H^5R^8d-3872H^5R^6d^3-80H^5R^4d^5+144H^5R^2d^7-240H^4R^{10}-5592H^4R^8d^2+9050H^4R^6d^4-1682H^4R^4d^6-176H^4R^2d^8+32H^4d^{10}+1440H^3R^{10}d+9168H^3R^8d^3-13232H^3R^6d^5+4832H^3R^4d^7-512H^3R^2d^9-2880H^2R^{10}d^2-4500H^2R^8d^4+8060H^2R^6d^6-4104H^2R^4d^8+864H^2R^2d^{10}-64H^2d^{12}+1920HR^{10}d^3-1008HR^8d^5+144HR^6d^7-81R^{10}d^4+9R^8d^6=0\)

    \(HR-2Rd-d^2=0\)

注：以上是由

    \(d=\frac{Aa+Bb+Cc}{2s},0=a^2(-a^2+b^2+c^2)A+b^2(a^2-b^2+c^2)B+c^2(a^2+b^2-c^2)C\) 计算得之
   

mathe

比如第一个计算中G是复数，应该有G和其共轭乘积以及G和共轭之和才对呀

数学星空

根据mathe提供的复数计算方案，我重新计算得到如下结果：

1.对于重心G,我们可以设

  \(x+yI=\frac{A+B+C}{3},x_0+y_0I=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c},0=a^2(b^2+c^2-a^2)A+b^2(a^2-b^2+c^2)B+c^2(a^2+b^2-c^2)C\)

  消元结果：\(9R^2x^2-12R^2xx_0+4R^2x_0^2+9R^2y^2-12R^2yy_0+4R^2y_0^2-x_0^4-2x_0^2y_0^2-y_0^4=0\)

  简化结果：\((3x-2x_0)^2+(3y-2y_0)^2=(\frac{x_0^2+y_0^2}{R})^2\)


2.对于垂心H，我们可以得到：

  消元结果：\(R^2x^2-4R^2xx_0+4R^2x_0^2+R^2y^2-4R^2yy_0+4R^2y_0^2-x_0^4-2x_0^2y_0^2-y_0^4=0\)

  简化结果：\((x-2x_0)^2+(y-2y_0)^2=(\frac{x_0^2+y_0^2}{R})^2\)


3.对于热尔岗点Ge,我们可以得到：

   消元结果：\(9R^4x^2-24R^4xx_0+16R^4x_0^2+9R^4y^2-24R^4yy_0+16R^4y_0^2-R^2x^2x_0^2-R^2x^2y_0^2+8R^2xx_0^3+8R^2xx_0y_0^2-9R^2x_0^4-R^2x_0^2y^2+8R^2x_0^2yy_0-18R^2x_0^2y_0^2-R^2y^2y_0^2+8R^2yy_0^3-9R^2y_0^4+x_0^6+3x_0^4y_0^2+3x_0^2y_0^4+y_0^6=0\)

   简化结果：\((x+\frac{4x_0(-3R^2+x_0^2+y_0^2)}{9R^2-x_0^2-y_0^2})^2+(y+\frac{4y_0(-3R^2+x_0^2+y_0^2)}{9R^2-x_0^2-y_0^2})^2=(\frac{(x_0^2+y_0^2)(R^2-x_0^2-y_0^2)}{(9R^2-x_0^2-y_0^2)R})^2\)


4.对于奈格尔点Na,我们可以得到：

   消元结果：\(R^2x^2+R^2y^2-x_0^4-2x_0^2y_0^2-y_0^4=0\)

   简化结果：\(x^2+y^2=(\frac{x_0^2+y_0^2}{R})^2\)


5.对于九点圆圆心N,我们可以得到：
  
   消元结果：\(4R^2x^2-8R^2xx_0+4R^2x_0^2+4R^2y^2-8R^2yy_0+4R^2y_0^2-x_0^4-2x_0^2y_0^2-y_0^4=0\)

   简化结果：\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=(\frac{x_0^2+y_0^2}{2R})^2\)

mathe

除了热尔岗点结果都好简单