一类特殊的五次方程

manthanein

方程\(16x^5-20x^3+5x-c=0\)在\(\abs{c}\leq 1\)时是可以用三角函数解的，因为这就是\(\sin(5x)=c\)或者\(\cos(5x)=c\)。
c取其他值的情况呢？还有什么五次方程能写成这种形式？

hujunhua

当`|c|>1`时，可改用双曲三角函数吧。

manthanein

令\(\D y=x^2+\frac{1}{2}ix-\frac{1}{2}\)，可以把三次方消掉：
\(\D 256y^5+(40-40ic)y^2+15y+\frac{-2c^2+9ic+11}{2}=0\)
下一步的命令是  Collect[Resultant[11/2 - c^2 + 15 x + 40 x^2 + 256 x^5 + i ((9 c)/2 - 40 c x^2), y-(x^4+mx^3+nx^2+p), x],y] 然后让四次项、三次项、二次项等于0，这个我算不下去了，谁有mathematica帮我算算吧。

manthanein

https://bbs.emath.ac.cn/thread-16975-1-1.html 不懂的参见
以及 https://math.stackexchange.com/q ... tion-to-normal-form

wayne

manthanein 发表于 2019-10-26 22:58
令\(\D y=x^2+\frac{1}{2}ix-\frac{1}{2}\)，可以把三次方消掉：
\(\D 256y^5+(40-40ic)y^2+15y+\frac{-2c ...

参考2#:

1. In[1]:= 16x^5-20x^3+5x/.x->Cosh[t]//FullSimplify
   
2. Out[1]= Cosh[5 t]

复制代码