一道“简单”的几何题

KeyTo9_Fans

读高中的时候为了解决一道简单的几何题：



竟然花了连续3个晚上的时间，在那里拼命地算啊算啊……

……最后终于把答案算出来了，然后拿给同学看……



……顿时就把同学吓坏了……

……大一的时候想起此事，觉得那时候算出来的答案可能还不够简洁，于是重新再算一遍，总算得到一个简洁一点的答案……



但是这两个答案长得很不一样，它们是相等的吗？

如果相等，能否把它们放在等号两边，然后通过移项、乘除、平方、立方等操作，得到0=0？

还有没有更简洁的式子？

KeyTo9_Fans现在已经没有当年的那份热情，再次拿出笔和草稿纸做下去了。

在座的各位大牛们能否把你们手中的各种功能强大的数学工具用起来，完成Fans未完成的工作？

Fans将不胜感激。

wayne

真的假的
不至于吧
我算算

wiley

BC的长满足方程 $1/\sqrt{9-x^2}+1/\sqrt{25-x^2}=1$ .

如果设 $t=\sqrt{9-x^2}$ , 问题可以转换成求t的一元四次方程 $t^4-2t^3+16t^2-32t+16=0$ 的大于1的实根.
用mathematica或求根公式得到的形式和楼主的类似.

或者设 $9-x^2=16\tan^2(t)$ 转换成三角方程 $\cot(t)+\cos(t)=4$ .
只是形式略简单, 本质还是四次方程.

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记
$y=2/3\root{3}{37484+12\sqrt{849}}+2/3\root{3}{37484-12\sqrt{849}}+67/3$ 是方程 $x^3-67x^2+3x-1=0$ 的唯一实根,
$z=2/3\root{3}{-108+12\sqrt{849}}-2/3\root{3}{108+12\sqrt{849}}+1$ 是方程 $x^3-3x^2+67x-1=0$ 的唯一实根,
BC的长可以表示成
$\sqrt{16-\sqrt{y}-\sqrt{67-y+2\sqrt{z}}}$

wayne

设AB=x,BC=y,CD=z,则
${(x^2+y^2=a^2,(AB^2+BC^2=AC^2)),(y^2+z^2=b^2,(BC^2+CD^2=BD^2)),(frac{c}{z}=frac{x}{x+z},(\frac{EF}{CD}=\frac{AB}{AB+CD})):}$

这个方程组形式很简单，容易消去y,z得到：

$x^3(x-2c)=(a^2-b^2)(x-c)^2$
其中$a=5,b=3,c=1$
看来，只要a,b,c为有理数，那么AB,BC,CD一定都是无理数

wiley

try $a=5/3, b=5/4, c=12/25$
( or equivalently $a=500, b=375, c=144$ )

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同上, BC的长满足的方程是 $1/\sqrt{a^2-x^2}+1/\sqrt{b^2-x^2}=1/c$,
有理数解只需把 $\sqrt{a^2-x^2}, \sqrt{b^2-x^2}$ 凑成有理数即可.

wayne

呵呵，漏洞一下子被鹰眼发现了

想问一下

如果a,b,c都为有理数，存在AB,BC,CD也都是有理数的可能吗

mathe

根据willey的方程,
我们需要找到有理数a,b,c,x使得
$sqrt(a^2-x^2),sqrt(b^2-x^2)$都是有理数,而是
$1/{sqrt(a^2-x^2)}+1/{sqrt(b^2-x^2)}=1/c$
这个还是比较容易构造的
比如
$x=12,a=37,b=20,c=560/51$

wayne

程序运行了10多分钟，终于找到了一个情况：

a=750,b=625,c=126
x=600,y=450,z=175

wayne

哈哈，以后我把这题的数据换成上面的解，去考考别人，总比无理数的情况强~~

mathe

批量构造的方法如下:
假设$a^2-x^2=y^2,b^2-x^2=z^2$
我们可以得出
$(a-y)(a+y)=(b-z)(b+z)=x^2$
也就是$(a-y)(a+y)$和$(b-z)(b+z)$是$x^2$两个不同的因子分解方案(但是两个因子要求同奇偶.)
然后任取一个合数x,逆上面过程就可以解出a,b,y,z