还是微分方程的问题

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一
已知$F(x,y,{dy}/{dx})=0$，给定一组数据$(x_0,y_0)$，我们就可以求出${dy}/{dx}$的具体值。
对两边同时进行求导，还可以求出${d^2 y}/{dx^2}$、${d^3 y}/{dx^3}$、...

但是如果在$F(x,y,{dy}/{dx})=0$比较复杂的情况下，直接求导会导致过程的异常复杂（出现很多项）。但是经过一系列的化简后，却会发现最终结果也是很简洁的。

这样就出了一个问题：如果以尽可能简单的过程求出${d^2 y}/{dx^2}$、${d^3 y}/{dx^3}$、...？

二
已知$F(x,y,{dy}/{dx},{d^2 y}/{dx^2})=0$，并且给出两组数据$(x_0,y_0)$和$(x_1,y_1)$.如何求出${dy}/{dx}$、${d^2 y}/{dx^2}$的值（当？（$x=x_0,y=y_0$或者$x=x_1,y=y_1$）
根据二阶微分方程的通解只含有两个积分常数，问题二是能够求解的。

以上问题的解决途径为 不解出微分方程的通解 。

注：这个帖子基本和 http://bbs.emath.ac.cn/thread-2225-1-1.html 没有关系

wayne

第一问： 在表达式F两边直接对x求导，要想得到高阶的导数，只需将低阶的等式代入化简即可

第二问：要具体情况具体说

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第一问： 在表达式F两边直接对x求导，要想得到高阶的导数，只需将低阶的等式代入化简即可

第二问：要具体情况具体说
wayne 发表于 2010-3-12 10:51

第一问：主要是如何“最简”？虽然几乎所有函数的导数都可以求出来。但是不同的形式有不同的过程。
例如我们对$xy=k$和$x=k/y$（k是常数）对两边分别求导，会有不同的结果，虽然经过最终化简都是一样的，但是显然前者相对简单

wayne

有时候所谓的繁简是因人而异的，因个人的积蓄而已