关于正整数分拆的计数的若干问题

wayne

把正整数n表示成若干更小的正整数之和，我们称之为正整数的分拆


在这里，我们只讨论无序分拆的计数问题，即5=2+2+1与5=2+1+2是一回事。
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根据分拆的元素是否有上限，是否允许重复，可以分为四种情况
1、分拆正整数n，其中最大的数不大于m，m<n，允许元素的重复；
2、分拆正整数n，其中最大的数不大于m，m<n，不允许元素的重复；
3、分拆正整数n，元素大小不限定，允许元素的重复；
4、分拆正整数n，元素大小不限定，不允许元素的重复；


以上的四种情况通过多项式展开求系数都能很方便的解决掉，但如果还要限定分拆的元素的个数，则又可以组合出四种情况来，这时，就比较困难了：

比如，将33表示成6个互异的正整数之和，最大的数不能大于10，共有几种情况?
{10, 9, 8, 3, 2, 1}, {10, 9, 7, 4, 2, 1}, {10, 9, 6, 5, 2, 1},
{10, 9, 6, 4, 3, 1}, {10, 9, 5, 4, 3, 2}, {10, 8, 7, 5, 2, 1},
{10, 8, 7, 4, 3, 1}, {10, 8, 6, 5, 3, 1}, {10, 8, 6, 4, 3, 2},
{10, 7, 6, 5, 4, 1}, {10, 7, 6, 5, 3, 2}, {9, 8, 7, 6, 2, 1},
{9, 8, 7, 5, 3, 1}, {9, 8, 7, 4, 3, 2}, {9, 8, 6, 5, 4, 1},
{9, 8, 6, 5, 3, 2}, {9, 7, 6, 5, 4, 2}, {8, 7, 6, 5, 4, 3}

期望大家能针对后者给出一个好的解决方案来，如果有突破的话，那么大大hujunhua 的问题自然数前段的均衡样本 就有眉目了