由“陈计的一道代数不等式”所发出的疑问

mathematica

先看《陈计的一道代数不等式》 http://bbs.emath.ac.cn/thread-164-1-1.html 提问开始 假设a.b为正数,a+b=n(n也是正数),求y=(a+1/a)(b+1/b)的最小值 当n=4,y取到最小值时,a=b 当n=5,y取到最小值时,a不等于b 从直觉上来说当n取4到5之间的某一个值时，假设这个值是m 当nm时，y取到最小值时,a不等于b， 问题来了，这个m是多少？ 如果是a,b,c三个数呢？这个m又是多少？ 如果是a,b,c,d四个数时，这个m又是多少？ 这样就会形成一个数列，请求出这个数列的各个值 “从直觉上来说当n取4到5之间的某一个值时，假设这个值是m 当nm时，y取到最小值时,a不等于b， 问题来了，这个m是多少？” 我只是从直觉上来说是存在这个m值，而且是只有一个，但是我并不能证明 我计算了一下， m[2]约等于4.12 m[3]的准确值似乎应该是6 m[4]约等于7.67024 m[5]约等于9.4这样 m[2]/2,m[3]/3,m[4]/4.................似乎还是单调递减的数列,而m[k]/k又大于0,单调减又有下界的数列肯定是有极限的,那么这个极限值又是多少呢? 看了9楼的回答，我不得不把我的所有提问整理到楼主帖当中。 不过9楼的只是回答了m[2]的值

icesheep

m[k]的定义是啥?

wayne

此问题 在原帖已经解决了， 参考29楼及以后mathe的分析

mathematica

我还是把29楼的链接弄到这边吧 http://bbs.emath.ac.cn/thread-164-3-1.html

mathematica

9楼的 wayne ，麻烦你把你的所有的结论整理一下，然后贴在这个帖子后面，好吗？那儿的我看的不怎么明白

mathematica

不过我觉得m[3]的准确值似乎应该是6，但是 wayne 算出来的是3*(2+5^0.5)^0.5=6.17451,从逻辑上来说,你我似乎至少有一个人是错误的

icesheep

你可以看61楼所说的 更详细的有下面这个结论 http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=64933 如果所有变量相等能落在下凸区间里,那么就ok; 否则,就是一个变量落在外面,其他变量都相等落在下凸区间里.

wayne

6# mathematica 看33楼，是 6.0043029605431965656237025541486，

mathe

那个链接中16#的内容也挺有用的，就是由于发表比较早，是word文件，如果谁有空，可以将它转出来到这里。 我们现在知道由于不存在边界情况，最小值只能两种情况取到 i)n个$x_i$全部相等 ii)n-1个$x_i$相等，而且小于$sqrt(2+sqrt(5))$,还有一个$x_n$大于$sqrt(2+sqrt(5))$,而且$x_1$和$x_n$处导数相等。 如果和$S>=nsqrt(2+sqrt(5))$,那么情况i)不可以取到（凹函数的性质） 而如果$s<=2n$,那么由于情况1)的平均值小于2,而情况ii)对应的情况n-1个相等的值小于2，对应的函数值在这段区间递减，所以情况ii)必然不可能取到最小值，所以只能取情况i) 只有在$2n

hujunhua

16楼的文章我也看了，mathe发现的分离法很有用。我对该文作了一些简化和图解，如果发出来相信能澄清不少疑问，不过这么做似乎有掠美之嫌。