用代数数逼近π

无心人 · 发表于 2010-8-24 10:29:22

双根式形式的，再搜个分母不限定大小，分子四个部分1000以内的，就算了，太大的计算复杂度受不了

wayne · 发表于 2010-8-24 10:30:15

50# chyanog
sage很另类，把浏览器当做它的用户交互平台，俺不是很习惯，不过想想到时候自己的sage程序草稿可以直接输出为html，倒是很不错的。

wayne · 发表于 2010-8-24 10:35:10

51# 无心人

zgg透漏了一个信息，这个问题跟 “数的身份识别”是属于同一范畴的，就是给一个小数，找出它的最可能的精确表达。
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可惜我看不懂 LLL算法，格点理论，

wayne · 发表于 2010-8-24 10:46:23

18# zgg___

在新版本的Mathematica里面，是用RootApproximant函数，不过，很奇怪，找不到mathe给的那个式子：

Table[{a = N[Pi, p], b = RootApproximant[a, 2], N[b, 20]}, {p, 1, 10, 1}]

复制代码

medie2005 · 发表于 2010-8-24 10:52:14

多项式$S(x)=a_{0}*x^{n}+...+a_{n}$。
如果S(pi)=0，
那么$a_{0}*pi^{n}+...+a_{n}=0$，现在可以由LLL算法来求出$a_{0},...,a_{n}$.
求得$a_{0},...,a_{n}$之后，我们再考察S(x)=0，求得pi的近似的根式表达式。

wayne · 发表于 2010-8-24 11:09:40

55# medie2005
是这么回事的，俺从一开始就是期望这样的答案，但怎么用LLL呢

medie2005 · 发表于 2010-8-24 11:10:10

$(1267256520886661761545611563843081 + sqrt(13541836862246176906707231322058777709819099266534540061242195281)) /440421808859358185420682749898720$

wayne · 发表于 2010-8-24 11:41:14

57# medie2005

你能写一个函数，入参是方程系数所允许的最大值，方程的次数，输出参数是方程的所有系数吗

zgg___ · 发表于 2010-8-24 11:43:55

话说一个叫Henri Cohen的，按照http://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Cohen的纪录，写了几本书，其中“A Course In Computational Algebraic Number Theory”深入浅出的呢。它从来回来去平方求幂、辗转相除法开始，到算方程的Galois群、计算类数、弄椭圆曲线还有大家喜欢的素性检测和分解（有NFS的），而且包含了算法，比较适合爱看算法的人，如果大家感兴趣，或许可以去研读一下，作为Donald Knuth书的进阶。可以看出，作者在书中对LLL算法是很欣赏的，这使我花了些时间去看这个算法。上面medie2005关于LLL的说法是很对的，这是为什么它可以用来“拟合”。

无心人 · 发表于 2010-8-24 11:51:43

57#的精度不小吧
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算出了精度是
$2.525*10^(-100)$

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