用代数数逼近π

数学星空

59#提到的电子书
下载地址:
http://hotfile.com/dl/29365646/9 ... -_Cohen_H..zip.html

wayne

79# liangbch
惭愧，俺一点都不牛，
这个早在18楼那会 zgg就说明了，用Mathematica搞定的，旧版本的就是zgg给的代码，新版本的就是
下面的代码了：

1. MinimalPolynomial[RootApproximant[N[Pi, 100], 100], x]

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medie在57楼 得出的那个超大的根式也是用Mathematica算的

1. RootApproximant[N[Pi, 100], 2]

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无心人

昨天想到，假如针对10000以内的无平方因子数的平方根，
都求出它的连分数精确到$10^(-24)$的结果，然后
对于2个平方根的逼近形式
$(a sqrt(b)+c sqrt(d)) / e$
$sqrt(b)$精确到$10^(-24)$的连分数逼近得到的分数形式$b_1/b_2$
$sqrt(d)$精确到$10^(-24)$的连分数逼近得到的分数形式$d_1/d_2$
$\pi$的连分数逼近得到同样精确到$10^(-24)$的结果$p_1/p_2$
原式子转化为
$ ((a b_1 ) / b_2 + (c d_1) / d_2) / e = p_1 / p_2$
如果假定$a$, $c$, $e$为变量
将得到一个三元一次的整系数的不定方程，
于是，原来是$n^5$的搜索次数将降低为$n^2$
只需搜索$sqrt(b)$, $sqrt(d)$的组合，并解一个三元一次整系数不定方程即可

mathematica

(1267256520886661761545611563843081 + sqrt(13541836862246176906707231322058777709819099266534540061242195281)) /440421808859358185420682749898720
medie2005 发表于 2010-8-24 11:10

我好奇的是这个数是如何得到的!

mathematica

57# medie2005


57#,你这个数是怎么得到的呢?

mathematica

1. RootApproximant[N[Pi, 30], 2]

复制代码

\[\frac{\sqrt{767326185466995005}-168768125}{225109847}\]

uk702

wayne 发表于 2010-8-23 10:08
比如，用${a+b*\sqrt(c)}/d$,  a,b,c,d都不超过100，逼近Pi最好的不知道是不是：

[TeX]{39 + \ ...

你把它当一等公民的效果太差，经检验，a, b, c, d 4个数均在 100 以内，结果最好的是 (49+23sqrt(75))/79，误差为 2.941370...*10^-7，还不如 355/113 ，它的误差是 2.66764... *10^-7

zeroieme

被挖出来了，给个连接https://mathworld.wolfram.com/IntegerRelation.html

mathematica

mathematica 发表于 2019-3-11 14:10
\[\frac{\sqrt{767326185466995005}-168768125}{225109847}\]

1. Clear["Global`*"];
   
2. aa=2*Sqrt[2]/99^2*Sum[(4*k)!/(k!)^4*(26390*k+1103)/396^(4*k),{k,0,2}];
   
3. 1/aa//FullSimplify
   
4. N[1/aa-Pi,100]
   

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利用拉马努金的圆周率公式进行逼近,得到结果
\[\frac{2286635172367940241408 \sqrt{2}}{1029347477390786609545}\]

uk702

这个用连分数来求解更简单直接。

N[Pi - Sqrt[10], 10]= -0.02068500658

N[2286635172367940241408/1029347477390786609545 Sqrt[2] - Pi, 100] = 5.682423*(10^-24)

N[184774555863/101871551786 Sqrt[3] - Pi, 100] = -4.320*(10^-24)

N[67649955550863/56972681798080 Sqrt[7] - Pi, 100] = -4.9377*(10^-28)

N[1535096450385881467177037/1545203897046323735277645 Sqrt[10] - Pi, 100] = 3.64987*(10^-49)

补充内容 (2020-11-20 11:13):
(2 + 9 *23^(1/5))/6 - Pi = -2.4e-6
(98 + 34 * 80^(1/18))/45 - Pi = 6.2e-10
(12 + 193*165^(1/4))/224 - Pi =-2.1e-12
这是穷尽所能找到一个各个数字和最小、精度最高的表达式了。