Brain Storm

zgg___

我想可以先证明总可以出现0-9这个事实。

感觉上，这个和x^2==x(mod(10^k))的解很有关系呦。呵呵。
例如：
k:     解
1:   1,5,6
2:   1,25,76
3:   1,625,376
4:   1,625,9376
我们是比较容易求解的。

我觉得基本上所有的数最后都会堕入到这些循环之中，所以只要证明这些循环都符合搂主的命题就好了，这个相对简单些。

mathe

不一定，有可能出现周期大于1的循环，比如
$21^2-=41(mod 100)$
$41^2-=81(mod 100)$
$81^2-=61(mod 100)$
$61^2-=21(mod 100)$
周期为4

zgg___

按照21层的说法，一个数不停的平方，它的最后100位总会落入下面三种循环之一之中：
第1种：……,n1,……,n1……（省略号可能是0长度的，即循环节长度是1。）；
第2种：……,n2,……,n2……；
第3种：……,n3,……,n3……。
其中：
n2=3953007319108169802938509890062166509580863811000557423423230896109004106619977392256259918212890625，
n3=6046992680891830197061490109937833490419136188999442576576769103890995893380022607743740081787109376，
n1=1，即：99个0和1个1。
可以看到只有第1种情况下没有出现0-9所有的数。

zgg___

To 22层：
嗯，mathe说的对呢。所以我的21层和23层是有错误的。呵呵。
不过貌似是可以补救的。
求解的式子变成了x^(2m)==x(mod(10^k))。
好像只是增加了当m=3时，x=2*10^(k-1)+1的这一种情况。
当m为其他值时只有那3组解了。

zgg___

24层又错了，呵呵。
当m为其它值时也会增加2*10^n+1这种模样的解。
但是还没有发现其它形式的了，而这种形式的可以归为23层说的第1种的。

zgg___

25层又错了，呵呵。
1376和29376都是反例。
其中1376对于模10^5的循环节更长。

zgg___

大家可以尝试一下求方程x^(2m)==x(mod(10^k))的不平凡解，其中：k视为已知条件，23层的3种情况是平凡解（即在m=1时成立）。
当k=5时，可以到解x=1376，m=13，（还有其它解的。）
大家可以尝试一下k>5的时候的情况。
这个问题感觉上和有限域F(5^n)中的因式分解相关。

zgg___

我寻找x^(2^m)==x(mod(10^k))的不平凡解（才发现要2^m的，呵呵。）
例如当k=9时，999909376就是一个非平凡解。
当k较大时（比方说k>5），解的个数就固定了（包括平凡解一共1251个），而且形式也很有规律。回头再分析吧。呵呵。
我搜索的循环节的范围是2500，即m不超过2500，或许有超过的，但是根据已有的循环节大小来看，2500貌似可以了，呵呵。

litaoye

最后k位的方法恐怕有问题，我用宽搜试过一些，除0以外任何数结尾的，都有可能迭代不到最后。

432696708324097936432

mathe

应该是最后总是会余下部分解，特别的，不如00..0001这个解总会遗留下来。但是余下数目应该很少，都是如果zgg__最后考虑的那些数。于是最后我们需要对这些数做特别的分析