概率计算问题

无心人

有极限就恐怖了
扔任意多硬币
若干次
最后只有一个正面或者反面的概率竟然存在极限
那要推翻很多东西的

shshsh_0510

$f(n):=1+\sum C_n^i*(-1)^i*{i*2^(i-1)}/(2^(i)-1)$
即f(n)是i*2^(i-1)/(2^i-1) 在牛顿级数展开意义下的反演

mathe

你这个说法有点看不懂，上面表达式也有点看不懂，(n)?(i)是什么？

shshsh_0510

应该是C(n,i),我是从maple copy的，就成这样了。
f(n)=1+ sgm(C(n,i)*(-1)^i*I2^(i-1)/(2^i-1))
我不会你们公式的语法，过两天再学学
函数以多项式系数为基展开叫牛顿级数，如果两个函数，一个为另一个的系数乘(-1)^i，则互为反演（就如同墨比乌斯反演）

这个用maple求lim,求不出，估计是发散的，但感觉会在某些值间跳跃，我再查一下，应该可以证一下

mathe

是不是发散我现在还是分析不出，不过可以证明摆动的幅度会越来越小（至少不增）
我知道了，你的意思是说反演就是对于数列a(n)
$b(n)=sum_{i=0}^n C_n^i (-1)^n a(n)$
就是a(n)的反演了？
不过感觉定义挺奇怪，为什么要牵扯到二项式系数呢？而且这个只有对数列有效。这里到了函数，应该改用积分才行。

mathe

你那个结果上下标是什么，我试着合并过我的式子好像简化不了的

shshsh_0510

从你的公式也可以,最后那个,令n=m+2，先把项配齐，再令i=m-j，就可以了。
你的分析学的太好，所以多复杂的式子都干下手，我们可不行，所以你一开始的那个泰勒展开的，看着就晕。
熟悉组合的，一般搞惯了离散，积分都忘了，但可以用母函数   。
从一开始的那个方程，令p0=p1=1,就可以把求和的项补齐，然后，考虑指数母函数相乘的系数关系，可得p(n)的指数母函数方程：$P(2x)-P(x)*e^x+x*e^x=0$ (没带草稿，有点记不清），然后令G(x)= P(x)/e^x 再展开，比较系数就可以了。

shshsh_0510

忘了说: 下标1-n

mathe

算了一下，是可以化简，可以成为
$1+1/2 \sum_{k=1}^n {kC_n^k (-1)^k }/{1-2^{-k}}=1-n/2 \sum_{k=0}^{n-1} {C_{n-1}^k (-1)^k}/{1-2^{-k-1}}$
好像同你上面贴的有点不同，是不是贴错了

mathe

两个式子相同，只是我写成$2^{-k}$,你的公式用了正指数