概率计算问题

mathe

要不你试一试多采用几个峰值

shshsh_0510

是没那么大，应该是最大两个值作为两个收敛数列首项，在峰顶移动时两个数列和的最大最小值之差。
左边基本上是个等比试列，右边是个收敛远快于等比的数列，所以应该一定存在一个数，应该很小，但是大于0
移动到 (lnn/ln2-1,lnn/ln2),和(lnn/ln2,lnn/ln2+1)其和式一样的，所以估计在中央附近，即(lnn/ln2-1/2,lnn/ln2+1/2)时两个数列和与 (lnn/ln2-1,lnn/ln2)时的差会比较大，挺复杂但应该可以求出。

所以总的感觉是：整个的f(n)就是基本趋近于某个值并且周期性的收到某个值的扰动，并且，这个扰动周期是指数增长的

mathe

其实37#中的公式
$f(n)=1-n/2 \sum_{i=1}^infty 2^(-i) (1-2^(-i))^{n-1}$
中，项
$n \sum_{i=1}^infty 2^(-i) (1-2^(-i))^{n-1}$
可以看成另外一个问题的解:

(0,1]区间可以划分成无限个小区间
$I(k)=(1/2^(k+1), 1/2^k]$的并集

现在在$(0,1]$区间中独立随机均匀的放入$n$个点，
记$e(n)$为${I(k),k>=0}$中正好包含一个点的区间的数目
$E(n)$为$e(n)$的期望值
那么$E(n)$就是上面的f(n)中那一项.$n \sum_{i=1}^infty 2^(-i) (1-2^(-i))^{n-1}$

mathe

想到一个方法
定义
$h(x)=sum_{k=-infty}^{+infty} 2^{-k} x exp(-2^{-k} x)$
那么应该有
$lim_{n->+infty} 2(1-f(n))-h(n)=0$
而$h(2x)=h(x)$
所以我们归结到计算$h(x),1<=x<2$
而这个按照h函数的定义就可以，分别两别取若干项，比如左边最多50项，右边更加少，估计10来项就可以了。
通过这种方法我们可以计算出在区间[1,2]中h(x)的最大值和最小值，从而可以算出$f(n)$的上极限和下极限。
shshsh用Maple计算一下h(x)在区间[1,2]的值如何？看看到底分布如何。

mathe

写了个C代码计算了一下
在x大概为1.2844左右，h(x)取到最小值1.4426807807,而在x大概为1.8164左右，h(x)取到最大值1.4427093011

所以相对应的f(n)的上极限为0.2786596097，下极限为0.2786453494.
当然如果进一步，我们可以计算出让h'(x)=0的x的准确值，从而计算出上下极限更加精确的值。不过这里应该没有必要了。

mathe

奇怪，计算结果表明h(x)在x=1附近是减函数。但是如果计算h'(1)，算出来大概是0.4685>0,真是奇怪呀，难道计算误差有这么大？

mathe

嗯，是h'(x)的程序写错了一个地方，现在算出来的确h'(1)<0,而且挺小的。
然后可以解出求h'(x)=0的解在[1,2)中分别为x=1.2844083384和x=1.8164271742

shshsh_0510

呵呵，mathe真是精益求精！这种题一般我算到“心领神会”就打住了（这次已经属于变态式深入了 ），后面的值一是能力不及，二是觉得不优美了。
你解决问题的方式使我想起看过的那些很hard的文章（如王元先生那些逼近歌德巴克猜想的），多么巨型的公式，最后都非要解出个所以来！向我们这种人，到最后只是相信他是对的就行了，已经跟不上讨论的步伐了。就如同gxq告诉我们某个square有好几百个优美性质，我们只会感叹“噢，真神气，这样的东西居然存在！”，而不会去检验。
另外，你好象居然还能在多个论坛同时去解决多个不同的困难问题！简直有点埃德斯的味道！窃问一下，你是干什么工作的？我猜会是学校的吧。

mathe

查了一下，原来"埃德斯"是数学家Paul Erdos,说:一个数学家就是一台把咖啡转化为数学定理的机器。
不过咱们可不能同人家专业的数学家比，最多也就是自己玩一玩。
当然，有些方面我们比人家数学家还要强一些，那就是对计算机的使用
我不在学校里面的

通过google找到一篇Erdos的介绍：http://forum.csdn.net/PointForum ... ect.ashx?id=5285717，不知道我的Erdos数是多少

wit12

我就是那个出题的
谢谢，我谢谢你们解出这道题，我本以为被不当回事呢，后来才知道你们在这儿研究

对了，49楼说的好像感觉Erdos是中心，别人都围着他转似的~