[讨论] 轨迹是否为圆 相关搜索: 同心圆, 正整数

mathe

假设1<t<k,其中t,k都是正整数
平面上两个圆O1,O2,其中圆O1在圆O2内部。
过圆O2上一个动点P1向圆O1一个固定方向做一条切线切O1于$T_1$,交O2于另外一个点P2,
同样过P2向圆O1做另外一条切线切O1于$T_2$,交O2于另外一个点P3,
...
知道得到$T_k$
直线$T_1T_t$和$T_{k-t+1}T_k$交于一点Q
证明或否定Q点轨迹是一个圆，并且这个圆和圆O1,圆O2有公共的极点极线对。也就是说存在平面上一个点H,H向三个圆做切线的6个切点共线（特别的，对于同心圆，认为H在无穷远）

推广一下到普通二次曲线，同样有类似猜想，而这时需要另外证明三条二次曲线交于公共四个点（包含虚点或重合点(相切情况算两个重合的点)）

wayne

用解析几何有点麻烦，
我高等几何还没看完呢

mathe

今天用几何画板作图检验了一下，对于一般的情况不成立，但是好像对于t=k-1成立。
而对于一般情况好像结果是一个普通的二次曲线，而不一定是圆。但是这个二次曲线同样和两个原先的圆拥有统一的极点和极线。

mathe

思考这个问题得出一个有意思的变换:
对于平面上给定的两条圆锥曲线C1,C2.
对于C1上任何一点P,我们做C1在P点的切线交C2于点Q,而过Q点做C1的另外一条切线切C1于R
那么P到R确定C1上点之间的一个映射（而这个映射有两个分支，我们取其中任意一个分支，而且两个分支互为逆映射）。
我们不妨称这两个C1上点之间的一一映射为C1关于C2的一个圆锥映射或二次对合变换（不知道数学上是否已经有这个变换的定义，需要注意的是二次对合变换不是对合变换）。
（显然，如果我们将C2从圆锥曲线改为直线，那么就只有一个映射，而且这个是C1上一个射影变换，而且是对合变换）

为方便起见
我们通过射影变换将曲线C1变换成双曲线$y=x^2$，而另外一条双曲线C2方程任意
于是对于双曲线上一个点P(x1,y1),如果过这个点的切线交C2于一个点Q(x0,y0),
过Q做C1另外一条切线的切点为R(x2,y2)
那么由于PR是Q关于C1的极线，所以PR的方程为2x0x-y0-y=0
PR和C1交于(x1,y1),(x2,y2)两个点，也就是方程组
${(2x0x-y-y0=0),(y=x^2):}$的解是上面两个点，我们消去y，得到
$x^2-2x0x+y0=0$的两个根是$x1,x2$
根据韦达定理得到$x1+x2=2x0,x1x2=y0$
所以我们得到对于我们这个变换，如果将C1上点(x1,y1)变换为(x2,y2)
那么$((x1+x2)/2,x1x2)$将满足曲线C2的方程。
反之，如果一个将C1上点(x1,y1)变换成(x2,y2)的变换使得$((x1+x2)/2,x1x2)$满足一条圆锥曲线的方程，我们将这个
圆锥曲线当成C2,那么就可以得出满足条件的圆锥映射。

也就是对于曲线C1:y=x^2上点的一个映射$(x1,x1^2)$到$(x2,x2^2)$是圆锥映射的充分必要条件是$(u=(x1+x2)/2,v=x1x2)$满足一条圆锥曲线的方程。

另外，对于圆锥映射从$(x1,x1^2) ->(x2,x2^2)$,如果满足方程
$A(x1+x2)^2+B(x1+x2)x1x2+C(x1x2)^2+D(x1+x2)+E(x1x2)+F=0$  (1)
我们可以将上面方程改成矩阵形式
$[(x1,x1^2,1)][(2A+E,B,D),(B,C,A),(D,A,F)][(x2),(x2^2),(1)]=0$  (2)
也即是说，任意一个对称矩阵确定圆锥曲线上一对互逆的圆锥映射。

重新字母替换，设一个C1上圆锥映射确定方程为:
$[(x1,x1^2,1)][(A,B,C),(B,D,E),(C,E,F)][(x2),(x2^2),(1)]=0$
如果我们将$(x1,x1^2)$用上面映射映射两次得到$(x3,x3^2)$,于是我们又得到
$[(x3,x3^2,1)][(A,B,C),(B,D,E),(C,E,F)][(x2),(x2^2),(1)]=0$
于是我们知道$x1,x3$是二次方程
$[(x,x^2,1)][(A,B,C),(B,D,E),(C,E,F)][(x2),(x2^2),(1)]=0$
的两个解。
设上面二次方程展开为$u*x^2+v*x+w=0$,那么其中u,v,w都必然是$x2,x2^2,1$的线性组合
于是我们知道如果将$x1+x3=-v/u,x1x3=w/u$看成一个平面上点的坐标，那么它正好是点$(x2,x2^2,1)$
的一个射影变换，由于动点$(x2,x2^2,1)$满足圆锥曲线$y=x^2$的方程，于是我们知道$x1+x3,x1x3$也满足一条圆锥曲线的方程，也就是说
圆锥变换的平方还是圆锥变换，其几何意义就是给定圆锥曲线C1,C2,从C1上任意一动点P出发向某个方向做C1切线交C2于Q1,过Q1做C1的另一条切线切C1于P2交C2于Q2,过Q2做C1的另一条切线切C1于P3,那么PQ1和Q2P3的交点的轨迹是圆锥曲线

2011-1-25 14:13

mathe

几何画板作图表明同一个圆锥变换的任意次方还是圆锥变换，不过不知道如何证明，当然两个不同的圆锥变换的复合不一定是圆锥变换

mathe

对于(2)中矩阵我们可以看成二次曲线C3:
$[(x,y,z)][(2A+E,B,D),(B,C,A),(D,A,F)][(x),(y),(z)]=0$
于是(2)式的几何意义就是$(x2,x2^2,1)$在点$(x1,x1^2,1)$关于C3的极线上（也就是关于C3的极线和C1的交点)

mathe

4#的图中P,P2,P3,...等等点列构成一个圆锥变换，同样Q1,Q2,...等也构成了一个圆锥变换。
同样，对于圆锥曲线上一个构成圆锥变换的点列，对它做任何射影变换后，变成的结果点列是结果圆锥曲线上的圆锥变换点列。
同样，我们还可以定义直线上的圆锥变换点列。
如果P1,P2,P3,....,P_n,...是圆锥曲线C上一个圆锥变换点列，在C上任意选择一点P,连接PP1,PP2,...,PP_n,...等分别交直线l到Q1,Q2,Q3,...,Q_n,...,那么我们称Q1,Q2,...,Q_n,...为直线l上的圆锥变换点列。
于是我们容易对于直线上的圆锥变换点列，重新在另外圆锥曲线C'上任取一点P',连接这些点和P'交圆锥曲线C'得出的交点序列还是C'上圆锥变换点列等等。同样，两条直线之间点列的投影也保持圆锥变换的性质。

mathe

另外，在任何圆锥曲线C上任意选择6个不同的点P1,P2,...,P6,那么C上必然存在一个唯一的圆锥变换点列以P1,P2,...,P6开头

mathe

根据前面的知识，我们现在知道对于上面定义的“圆锥变换”或“二次对合变换”，我们可以有下面四种不同的定义:
i)给定圆锥曲线C1,以及另外一个圆锥曲线C2,对于C1上任意一点P1,过P1做C2的任意一条切线交C1于P2,同样过P2做C2的另外一条切线交C1于P3,...依次类推，我们可以得到一个序列P1,P2,P3,...,Pn,...
ii)对偶的，给定圆锥曲线C1,以及另外一个圆锥曲线C2,对于C1上任意一点P1,P1点的C1的切线交于C2于一点，而过着一点可以做C2的另外一条切线，切点为P2,,同样P2的这条切线交C2于另外一点，而过这一点C1的另外一条切线的切点为P3,...依次类推，我们可以得到一个序列P1,P2,P3,...,Pn,...
我们称P1关于这个二次对合变换的像是P2,P2关于这个二次对合变换的像是P3,...而这个序列是对应的一个二次对合变换序列。
iii)给定圆锥曲线C1和C2,对于C1上任意一点P1,P1关于C2的极线和C1的一个交点定义为P2,然后P2关于C2的极线（必然过P1）和C1的另外一个交点为P3,P3关于C2的极线和C1的另外一个交点为P4,....依次类推，我们可以得到一个序列P1,P2,P3,...,Pn,...
我们称P1关于这个二次对合变换的像是P2,P2关于这个二次对合变换的像是P3,...而这个序列是对应的一个二次对合变换序列。
iv)对偶于iii),给定圆锥曲线C1和C2,对于C1上任意一点P1,P1处切线关于C2的极点可以向C1引任意一切线，切点定义为P2,然后P2处切线关于C2的极点向C1做另外一条切线（其中一条必然切于P1)切C1于P3,,....依次类推，我们可以得到一个序列P1,P2,P3,...,Pn,...
我们称P1关于这个二次对合变换的像是P2,P2关于这个二次对合变换的像是P3,...而这个序列是对应的一个二次对合变换序列。
而显然同一个圆锥变换如果选择不同的初始点，可以得到很多不同的二次对合变换序列。

四种定义中的曲线C1我们可以称之为这个二次对合变换的目标曲线，而其中的曲线C2可以分别称为第一(二，三，四）类变换曲线。

mathe

我们现在查看第一类变换曲线，在复数范围，通常情况，它和目标曲线C1有四条公切线。
对于某一条公切线P1Q1,其中切C1于P1,切第一类变换曲线C2于Q1.由于过P1可以做C2的两条切线，其中另外一条为为P1Q2,其中交C1于另外一个点P2.
于是如果我们从P2开始做二次对合变换序列，并将第一次变换的像选择为P1,那么下一次变换，由于切线P1Q1是公切线，下一次变换结果还是P1,而再下一次变换，由于我们需要切换到过P1的另外一条切线(P1Q2),所以又变换到P2,于是我们得到对应的二次对合变换序列为
P2,P1,P1,P2,....

2011-1-31 08:59

也就是这个变换序列中点P1为连续重复出现一次（所以我们也知道对于每个点，其变换的像同它在序列中的位置也有关系，总共有两种可能的取值）。
另外一方面，如果一个点会在某个变换序列中连续重复出现，那么我们代入4#中(2)式(定义3的代数形式）,得到如果C1通过射影变换成$y=x^2$后，横坐标x必然是一个四次方程的根，所以最多四个解。
而由于通常情况，目标曲线和第一类变换曲线有且仅有四条公切线，这说明这种在某个序列中连续重复出现一次的点有且仅有四个，正好是目标曲线和第一类变换曲线公切线在目标曲线上的切点，我们称这种点为这个二次对合变换的驻点。当然特殊的，如果目标曲线正好和第一类变换曲线在某点相切，那么情况退化两个驻点重合。在这种计数下，任何二次对合变换正好有且仅有四个驻点。