轨迹是否为圆

mathe

另外还有30#的结论，对于直线l和给定的圆锥曲线C和直线m,过m上动点像圆锥曲线C引两条切线交l于P1,P2两个点，那么P2必然是直线l上关于P1的一个二次对合变换的像，其中如果l和圆锥曲线C相切，那么这个二次对合变换退化为对合变换:

mathe

此外，29#内关于过公共三点的二阶二次曲线理论得到:
反之，对于一条直线l上的一个二次对合变换T,和直线外三个不共线的点A,B,C
过A,B,C和直线l上动点X以及像T(X)的圆锥曲线系是二阶二次曲线系（过固定三点A,B,C的二阶二次曲线系）。
也就是对于任意一条其它直线m,m和这个二次曲线系中一条二次曲线的两个交点确定了m上的一个二次对合变换

而31#内关于过公共两点的二阶二次曲线理论得到:
过直线上成二次对合变换关系两点以及和定圆的根轴过定点的圆系是一个二阶的圆系。同样可以推广到过两个定点的二阶圆锥曲线系。
也就是给定直线l,以及其上一个二次对合变换T和定圆C,以及定点P.那么对于l上动点X,过X和其像T(X)并且和圆C的根轴过定点P的圆系构成一个二阶圆系，也就是对于任意其它直线m,m和这个圆系中任何一个圆的两个交点确定了m上一个二次对合变换

而关于二阶二次曲线系，除了同任意一条定直线的交点确定二次对合变换以外，还有一个优良的性质:
任意一条定直线关于二阶二次曲线系的极点的轨迹是二次曲线
任意一个定点关于二阶二次曲线系的极线相切一条定二次曲线

hujunhua

mathe有兴趣研究一下二次点列的本底坐标系么？应该对你这个主题的表示有帮助。 在二次曲线上任取三个定点O, I, E，作为本底坐标系的基点（O称为本底坐标的原点）。二次点列的任一动点X与三个基点所成的交比x=(IOEX)*之间存在一一对应关系，可作为X的一维坐标，称为二次点列的本底坐标（非齐次的）。如果x1/x2=x, (x1, x2)即为X的齐次本底坐标。

*二次点列的四点交比即其以点列上的任意第5点为中心所拉线束的交比。x与第5点的选择无关，因此这个定义是合理的。

在本底坐标系中，O, I, E的坐标分别为(0,1), (1,0), (1,1).  二次点列的其它点X的坐标仅与这3个基点的选择和X自身的位置有关，而与外在的二维射影坐标系无关，因此本底坐标系恰适用于二次点列的变换的表示，因为变换是自映射，看似无关乎外界。

二次点列的本底坐标与微分几何中曲线的自然坐标相类。微分几何中有曲线在自然坐标系下的自然方程，射影几何中亦当有二次曲线在本底坐标系下的自然方程，先把这个搞掂。

mathe

原来叫本位坐标，其实将双曲线映射成xy=1,O,E分别映射到两个无穷远点，I映射到(1,1)是等价的

hujunhua

“本位坐标”没有搜到。有参考资料吗？
搜intrinsic coordinates，也都是微分几何方面的内容。

mathe

你说的是“本底坐标系”，我看错了。 我不知道它的名字，但是在使用中早就产生了这个概念，我私下给它冠以“射影坐标”的名字，但是知道容易产生歧义。

wayne

46# mathe

mathe

已知圆锥曲线C1,C2以及C1一条切线L,点Q,R是C2上的定点，过C2上一动点P做C1两切线（切点S,T)交L于A,B两点，
那么过A,B,P,Q,R五点的动二次曲线构成一个二阶二次曲线系（过固定两点Q,R的二阶二次曲线系）
证明：为方便起见，不凡先做射影变换将C1变换为抛物线$y=x^2$，而直线L变换为横轴$y=0$
我们先不管Q,R在C2上的条件，假设Q,R两点坐标分别为$(a_1,b_1),(a_2,b_2)$，
参考点S坐标为$(x_1,x_1^2)$,参考点T的坐标为$(x_2,x_2^2)$,于是C1在S,T两点切线方程分别为
$y+x_1^2=2x_1x,y+x_2^2=2x_2x$,计算马上得到A,B两点坐标为$({x_1}/2,0),({x_2}/2,0)$,
而P点坐标为$(u,v)=({x_1+x_2}/2,x_1x_2)$
于是我们得到过A,B,P,Q,R五点的二次曲线方程为
\(\left|\begin{matrix}x^2&xy&y^2&x&y&1\\
a_1^2&a_1b_1&b_1^2&a_1&b_1&1\\
a_2^2&a_2b_2&b_2^2&a_2&b_2&1\\
u^2&uv&v^2&u&v&1\\
\frac{x_1^2}4&0&0&\frac{x_1}2&0&1\\
\frac{x_2^2}4&0&0&\frac{x_2}2&0&1\end{matrix}\right|=0\) (1)
我们查看上面方程，可以看出，如果$x_1=x_2$行列式必然为0，所以上面方程必然含因子$x_1-x_2$。同样，
如果$x_1=0$,那么第四行和第六行相同，所以行列式为0，所以含因子$x_1$；同样还含因子$x_2$
现在我们将上面行列式式子按最后两行展开，并且除掉因子$x_1-x_2$,得到结果为
$(x_1+x_2)/4|{: (xy,y^2,x,y),(a_1b_1,b_1^2,a_1,b_1),(a_2b_2,b_2^2,a_2,b_2),(uv,v^2,u,v) :}|+{x_1x_2}/8|{: (xy,y^2,y,1),(a_1b_1,b_1^2,b_1,1),(a_2b_2,b_2^2,b_2,1),(uv,v^2,v,1) :}|-1/2|{: (x^2,xy,y^2,y),(a_1^2,a_1b_1,b_1^2,b_1),(a_2^2,a_2b_2,b_2^2,b_2),(u^2,uv,v^2,v) :}|=0$
或者写成
$u/4|{: (xy,y^2,x,y),(a_1b_1,b_1^2,a_1,b_1),(a_2b_2,b_2^2,a_2,b_2),(uv,v^2,u,v):}|+v/8|{: (xy,y^2,y,1),(a_1b_1,b_1^2,b_1,1),(a_2b_2,b_2^2,b_2,1),(uv,v^2,v,1):}|-1/2|{: (x^2,xy,y^2,y),(a_1^2,a_1b_1,b_1^2,b_1),(a_2^2,a_2b_2,b_2^2,b_2),(u^2,uv,v^2,v):}|=0$
这个是关于u,v的二元三次多项式（如果将x,y看成常量），由于我们还知道这个式子同时含因子$x_1,x_2$,也就是必然含因子v,所以我们可以再次除去公因子v,从而最终得到的式子是
一个关于u,v的二元二次多项式（如果将x,y看成常量）。于是我们可以重新将式子写成如下形式
$[(u,v,1)]M(x,y)[(u),(v),(1)]=0$ (2)
其中$M(x,y)$是一个3*3的矩阵，矩阵每个元素都是关于x,y的二元二次多项式。
由于我们知道点$(u,v)$在一条圆锥曲线C2上，所以存在一个射影变换P将抛物线$y=x^2$变换到C2,也就是说我们可以将C2上点的齐次坐标$(U,V,W)$写成参数方程
$[(U),(V),(W)]=P[(t),(t^2),(1)]$，
将$u=U/W,v=V/W$代入方程(2),可以变换为
$[(t,t^2,1)]P'M(x,y)P[(t),(t^2),(1)]=0$
或者写成
$[(t,t^2,1)]N(x,y)[(t),(t^2),(1)]=0$ (3)
其中N(x,y)是一个3*3矩阵，矩阵中每个元素都是x,y的二元二次多项式。
或者我们将它直接展开，就是一个x,y的二元二次多项式，其中每个系数含参数t,最高次数为4，也就是四阶二次曲线系。
现在我们查看Q在C2上的情况，对应的情况就是存在$t=t_1$使得点$P(u,v)$和Q重合，于是我们知道这个情况，(1)式第二行和第四行相同，所以(1)式为0，也就是(3)式也为0，所以(3)式必然含因式$t-t_1$
同样由于R也在C2上，对应的存在$t=t_2$使得点$P(u,v)$和R重合，同样得出(3)式含因式$t-t_2$
所以在Q,R都在C2上时，(3)式含因子$(t-t_1)(t_t_2)$，于是我们除去这个因式，得到一个所有系数中参数t的最高次数不超过二次的形式，也就是这时可以写成二阶二次曲线系的形式。得到证明

mathe

任意给定两条直线$l_1,l_2$以及两个不在直线上的点E,P
对于$l_1$上二次对合的动点A,B,直线AP,BP分别交$l_2$于C,D.
那么A,B,C,D,E确定的二次曲线系是二阶二次曲线系(过一个固定点E的二阶二次曲线系)
证明如下:
坐射影变换,将$l_1$和$l_2$的交点投影到无穷远点(1,0,0),并且将P投影到无穷远点(0,1,0)
于是$l_1,l_2$都平行于x轴,直线AC,BD平行于y轴,不妨以$l_1$为x轴,设$l_2$纵坐标为c,假设E点坐标为(a,b)
设$A(x_1,0),B(x_2,0)$,于是$C(x_1,c),D(x_2,c)$,我们得出A,B,C,D,E五点确定二次曲线方程为
${:|(x^2,xy,y^2,x,y,1),(a^2,ab,b^2,a,b,1),(x_1^2,0,0,x_1,0,1),(x_2^2,0,0,x_2,0,1),(x_1^2,cx_1,c^2,x_1,c,1),(x_2^2,cx_2,c^2,x_2,c,1)|:}=0$
即
${:|(x^2,xy,y^2,x,y,1),(a^2,ab,b^2,a,b,1),(x_1^2,0,0,x_1,0,1),(x_2^2,0,0,x_2,0,1),(0,cx_1,c^2,0,c,0),(0,cx_2,c^2,0,c,0)|:}=0$
即
${:|(x^2,xy,y^2,x,y,1),(a^2,ab,b^2,a,b,1),(x_1^2,0,0,x_1,0,1),(x_2^2,0,0,x_2,0,1),(0,x_1,c,0,1,0),(0,x_2,c,0,1,0)|:}=0$
上面行列式显然含因子$(x_1-x_2)^2$,而且其关于变量$x_1,x_2$对称,最高次数为3
于是除去$(x_1-x_2)^2$后,我们将它看成$u=x_1+x_2,v=x_1x_2$的多项式,那么是线性的.即可以写成
$A(x,y)u+B(x,y)v+C(x,y)=0$,其中A(x,y),B(x,y),C(x,y)都是x,y的二元二次多项式.
由于(u,v)满足一条二次曲线方程,我们容易得出上面方程是关于x,y的二阶二次曲线系.

mathe

在28#中,我描述了二阶二次曲线系的定义(系数都是某个参数不超过二次的多项式的二次曲线),并且介绍了对于一个二阶二次曲线系,一个固定点关于二次曲线系中所有曲线的极线都相切于一固定的二次曲线.
但是另外一个结论,一个固定直线关于二次曲线系中所有曲线的极点的轨迹是二次曲线,是错误的.
我们假设一个二次曲线系为$A(t)x^2+2B(t)xy+C(t)y^2+2D(t)x+2E(t)y+F(t)=0$,也就是
$[(x,y,1)][(A(t),B(t),D(t)),(B(t),C(t),E(t)),(D(t),E(t),F(t))][(x),(y),(1)]=0$
于是对于任意一个点$(x_0,y_0)$,其极线方程为
$[(x_0,y_0,1)][(A(t),B(t),D(t)),(B(t),C(t),E(t)),(D(t),E(t),F(t))][(x),(y),(1)]=0$
也就是展开后直线方程的三个系数都是t的最多二次的多项式,所以直线的射影坐标都是t的二次多项式.
于是我们可以看成直线系$s*x+s^2*y+1=0$经过射影变换后得到的结果,所以这个直线系是相切于一个固定二次曲线的.
但是对于平面上任意一条指定的直线$a_0x+b_0y+1=0$,其极点$(x_0,y_0)$相当于是满足
$[(x_0,y_0,1)][(A(t),B(t),D(t)),(B(t),C(t),E(t)),(D(t),E(t),F(t))][(x),(y),(1)]=0$
展开后各系数分别同$a_0,b_0,1$成比例的$x_0,y_0$,也就是
${(A(t)x_0+B(t)y_0+D(t)=a_0(D(t)x_0+E(t)y_0+F(t))),(B(t)x_0+C(t)y_0+E(t)=b_0(D(t)x_0+E(t)y_0+F(t))):}$
于是变成$x_0,y_0$一个二元一次方程组,其中所有系数都是t的最多二次多项式,通常情况,解无法表达成
二次曲线.
但是如果特别的,这个二阶二次曲线系中所有曲线都是圆,也就是变成了二阶圆系,那么在上面方程中$B(t)=0,A(t)=C(t)$,于是圆心坐标为$(-{D(t)}/{A(t)},-{E(t)}/{A(t)})$,其轨迹为二次曲线.
所以我们知道对于二阶圆系,其圆心轨迹是二次曲线.而推广到一般情况,我们可以有:
如果某一族二阶二次曲线系过某固定两个点A,B.那么直线AB关于这个二阶二次曲线系中每条曲线的极点的轨迹是二次曲线.