计算百万位e

风云剑

也不说明x的定义域，你不会搞个复数出来吧。

仙剑魔

当然是实数
复数的话我就写sin,cos了
我只想知道x很大很大的时候怎么算比较快

liangbch

简单的说说我的想法，当e很小的时候，接近于0， 计算$e^x$,可用泰勒公式求解，这个就不多说了。我这了说说如何将计算 $e^y$  转化为$e^x$的算法过程，y是任意正实数，x是一个非常接近于0的数。
  1.首先准备一个对数张，这个表格包含2列，第一列是一个数，第二列是这个数的自然对数，  如

'10/9	0.105360515658
'9/8	0.117783035656
'6/5	0.182321556794
'5/4	0.223143551314
'4/3	0.287682072452
'3/2	0.405465108108
'8/5	0.470003629246
'5/3	0.510825623766
'9/5	0.587786664902
2	0.693147180560
'20/9	0.798507696218
'9/4	0.810930216216
'12/5	0.875468737354
'5/2	0.916290731874
'8/3	0.980829253012
3	1.098612288668
4	1.386294361120
5	1.609437912434
6	1.791759469228
8	2.079441541680
9	2.197224577336
10	2.302585092994

容易看出，只要计算出2，3，5这3个小质数的对数，就可以很容易求出上面这个表，当然你可以使用更多的质数的对数，得到表项(更密集）更多的表。

下面我们我们说一下，如何利用这个表，来计算$e^x$ , 我们 以 $r= e ^ 2008.12151318 $为例来说明计算过程

   1.  2008.12151318  大于表的最后一个表项log(10), 用 2008.12151318  /log(10) ，得到整数部分872，尾数0.2673120891921=2008.12151318-ln(10)*872
则   $r= e ^ 2008.12151318 =10^872 * e^0.2673120891921 $
2. 对 0.2673120891921 ，我们查表的得到log(5/4)=0.2231435513142, 因此有
$r=10^872 * 5/4 * e^(0.2673120891921-0.2231435513142)$
$=10^872 * 5/4 * e^0.0441685378779$
  此时，0.0441685378779非常小了，很容易利用泰勒公式得到。

如果你觉得这个值利用泰勒公式收敛的还是有点慢，那么你可以使用更多的小质数的对数，制造一个含有更多表项的对数表。

[ 本帖最后由 liangbch 于 2008-12-15 14:54 编辑 ]

无心人

liangbch我在考虑
是否有个只用单精度计算
就能得到对数的32位十进制数值的
方法

如果按你上面的方法
是否只要有一些小质数的精确到48位数的10的对数值
能否以很快的方法得到16位整数的精确到32位的10的对数

gxqcn

流程中第一步推导有误！

$r=e^2008.12151318 = e^{872.11609216528*ln(10)} $
　$ = (e^ln(10))^872.11609216528 = 10^{872 + .11609216528}$
　$ = 10^.11609216528 xx 10^872$

也就是说，经过换底公式后，就不再存在以 $e$ 为底的指数运算了。

liangbch

63楼 的确有问题，谢谢指正。
现在63#的步骤已经更正。

liangbch

对于32有效数字的对数计算，完全使用系统提供的数据类型仍然不可行。你需要实现
  1.多精度加减法
  2.多精度 乘以/除以 单精度的乘除法。

无心人

恩
明白了

你分析过终止条件么？
懒得分析
呵呵

另外，呵呵
完全用2的对数迭代
和用一个8位的数字的对数迭代
比如99999999的对数迭代
哪个效果好？

liangbch

原帖由 无心人 于 2008-12-15 15:17 发表
恩
明白了

你分析过终止条件么？
懒得分析
呵呵

另外，呵呵
完全用2的对数迭代
和用一个8位的数字的对数迭代
比如99999999的对数迭代
哪个效果好？

不明白你的意思？

gxqcn

to liangbch:

既然已经通过换底公式将底数换成了10，
那何不接下来就一直在10进制下计算乘幂？

我的意思是 10^x (0<x<1) 也可直接去计算吧？
犯不着再倒回到以 e 为底的指数运算，
多一道工序多一些潜在精度损失，除非是为了适应算法需要。