合并石子问题(1)

KeyTo9_Fans

有$N$颗体积为$1$的石子。

我们每次随机抽取$2$颗石子，合并成$1$颗石子。

每颗石子被抽到的概率均等。

假设要合并的$2$颗石子的体积$\ $分别为$a$和$b$。

如果$a=b$，那么合并后的体积为$(a+1)$，否则合并后的体积为$\min{a,b}$。

一共合并$(N-1)$次，最后剩下$1$颗石子。

记这颗石子的体积的期望值为$E(N)$。

$1$、求证：当$N$为奇数时，$E(N)=1$
$2$、求$\lim_{N->\infty}E(2N)$的值。

056254628

E(2k-1)=1证明比较简单。
1的个数永远保持奇偶不变（每次减少2个或不变），奇数个1的话，最后必剩一个1。
偶数的话，手算试了一下：
E(2)=2
E(4)=7/3
E(6)=26/15

056254628

E(2k)在2附近摆动，直觉E(2k)的极限可能为2。

056254628

我算出的E(8)=92/63
看来上述直觉是错误的。

mathe

数值计算好像极限存在而且大于2，挺奇怪，第一感觉是没有极限

KeyTo9_Fans

4# 056254628

为什么$E(6)$和$E(8)$都小于$2$？

我觉得对于所有的$N$，都有$E(2N)>=2$。

056254628

6# KeyTo9_Fans


2楼E(6)算错了，应该＝34/15
E(8)计算中引用了E(6)的结果，所以也是错误的

056254628

电脑模拟了一下合并过程，每个N模拟10000次。结果如下：
E(2)=2
E(4)=2.3306
E(6)=2.2588
E(8)=2.2978
E(10)=2.3061
E(12)=2.3123
E(14)=2.3151
E(16)=2.3208
E(18)=2.3220
E(20)=2.3128
E(22)=2.3219
E(24)=2.3130
E(26)=2.3139
E(28)=2.3309
E(30)=2.3299
E(32)=2.3248
E(34)=2.3234
E(36)=2.3261
E(38)=2.3261
E(40)=2.3201
E(42)=2.3193
E(44)=2.3167
E(46)=2.3234
E(48)=2.3272
E(50)=2.3294
E(52)=2.3323
E(54)=2.3202
E(56)=2.3224
E(58)=2.3207
E(60)=2.3239
E(62)=2.3310
E(64)=2.3276
E(66)=2.326
E(68)=2.3121
E(70)=2.327
E(72)=2.3277
E(74)=2.3233
E(76)=2.326
E(78)=2.3178
E(80)=2.3240
E(82)=2.3241
E(84)=2.3230
E(88)=2.3230
E(90)=2.3258
E(92)=2.3274
E(94)=2.3270
E(96)=2.3267
E(98)=2.3234
E(100)=2.3274
－－－－－
确实都大于2

wayne

7# 056254628
E(6) =2/5*E(4) +3/5*2 =32/15

wayne

猜想：
E(2N) =2+ (2^(N-2))/(1*3*5*(2N-1))