特殊角的三角函数值

liangbch

　　上面的公式和原始的Mathematica得到的不同，对每个公式，我均做了仔细的化简，其主要考虑是方便计算。因为平方根运算复杂度高于除法，而除法运算的复杂度高于乘法，所以，尽量减少根式，并消去分母中的根式。同时，基于一致性考虑，对这些公式中多项式的各项的顺序进行调整，使各个公式的样式非常相似。
  以上所有的公式，仅仅用到以下9个根式，所有其他公式，均可通过这些根式的加减乘法以及根式和整数的四则运算得到。
$sqrt(2)$,$sqrt(3)$,$sqrt(5)$,$sqrt(10+2sqrt(5))$,$sqrt(10-2sqrt(5))$,$sqrt(30+6sqrt(5))$,$sqrt(30-6sqrt(5))$,$sqrt(5-sqrt(5))$,$sqrt(5+sqrt(5))$

zeroieme

所有尺规能作出的正多边型

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3#的另一种形式：

表一 每隔15度的正弦

函数值

x(角度)	求解公式	Sin(x)的根式表示
15	ToRadicals[Sin[Pi/12]]	$(sqrt(6)-sqrt(2))/4$
30	ToRadicals[Sin[Pi/6]]	$1/2$
45	ToRadicals[Sin[Pi/4]]	$sqrt(2)/2$
60	ToRadicals[Sin[Pi/3]]	$sqrt(3)/2$
75	ToRadicals[Sin[5(Pi/12)]]	$(sqrt(6)+sqrt(2))/4$

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4#的另一种形式：

表2 — 每隔18度的正弦

x(角度)	求解公式	Sin(x)的根式表示
18	ToRadicals[Sin[Pi/10]]	$(sqrt(5)-1)/4$
36	ToRadicals[Sin[Pi/5]]	$(sqrt(2)sqrt(5-sqrt(5)))/4$
54	ToRadicals[Sin[3(Pi/10)]]	$(sqrt(5)+1)/4$
72	ToRadicals[Sin[2(Pi/5)]]	$(sqrt(2)sqrt(5+sqrt(5)))/4$

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5楼的另一种形式：

表3 — 每隔6度的正弦

x(角度)	求解公式	Sin(x)的根式表示
6	ToRadicals[Sin[Pi/30]]	$(sqrt(6)sqrt(5-sqrt(5))-sqrt(5)-1)/8$
12	ToRadicals[Sin[Pi/15]]	$(sqrt(2)sqrt(5+sqrt(5))-sqrt(3)(sqrt(5)-1))/8$
24	ToRadicals[Sin[4(Pi/30)]]	$(-sqrt(2)sqrt(5-sqrt(5))+sqrt(3)(sqrt(5)+1))/8$
42	ToRadicals[Sin[7(Pi/30)]]	$(sqrt(6)sqrt(5+sqrt(5))-sqrt(5)+1)/8$
48	ToRadicals[Sin[8(Pi/30)]]	$(sqrt(2)sqrt(5+sqrt(5))+sqrt(3)(sqrt(5)-1))/8$
66	ToRadicals[Sin[11(Pi/30)]]	$(sqrt(6)sqrt(5-sqrt(5))+sqrt(5)+1)/8$
78	ToRadicals[Sin[13(Pi/30)]]	$(sqrt(6)sqrt(5+sqrt(5))+sqrt(5)-1)/8$
84	ToRadicals[Sin[14(Pi/30)]]	$(sqrt(2)sqrt(5-sqrt(5))+sqrt(3)(sqrt(5)+1))/8$

注：18，30，36，54，60，72的三角函数值已经在楼上给出，这里不再重复.

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6楼的另一种形式：

表3 — 每隔3度的正弦

X(角度)	求解公式	Sin(x)的根式表示
3	ToRadicals[Sin[Pi/60]]	$-(sqrt(5+sqrt(5))*(sqrt(3)-1))/8+((sqrt(6)+sqrt(2))*(sqrt(5)-1))/16$
9	ToRadicals[Sin[3(Pi/60)]]	$-sqrt(5-sqrt(5))/4+(sqrt(2)(sqrt(5)+1))/8$
21	ToRadicals[Sin[7(Pi/60)]]	$(sqrt(5-sqrt(5))*(sqrt(3)+1))/8-((sqrt(6)-sqrt(2))*(sqrt(5)+1))/16$
27	ToRadicals[Sin[9(Pi/60)]]	$sqrt(5+sqrt(5))/4-( sqrt(2)(sqrt(5)-1))/8$
33	ToRadicals[Sin[11(Pi/60)]]	$( sqrt(5+sqrt(5))(sqrt(3)-1))/8 +((sqrt(6)+sqrt(2))(sqrt(5)-1))/16$
39	ToRadicals[Sin[13(Pi/60)]]	$-(sqrt(5-sqrt(5))(sqrt(3)-1))/8+((sqrt(6)+sqrt(2))(sqrt(5)+1))/16$
51	ToRadicals[Sin[17(Pi/60)]]	$(sqrt(5-sqrt(5)) (sqrt(3)+1))/8+((sqrt(6)-sqrt(2))(sqrt(5)+1))/16$
57	ToRadicals[Sin[19(Pi/60)]]	$(sqrt(5+sqrt(5))(sqrt(3)+1))/8-((sqrt(6)-sqrt(2))(sqrt(5)-1))/16$
63	ToRadicals[Sin[21(Pi/60)]]	$sqrt(5+sqrt(5))/4+( sqrt(2)(sqrt(5)-1))/8$
69	ToRadicals[Sin[23(Pi/60)]]	$(sqrt(5-sqrt(5))(sqrt(3)-1))/8 +((sqrt(6)+sqrt(2))(sqrt(5)+1))/16$
81	ToRadicals[Sin[27(Pi/60)]]	$sqrt(5-sqrt(5))/4+(sqrt(2)(sqrt(5)+1))/8$
87	ToRadicals[Sin[29(Pi/60)]]	$(sqrt(5+sqrt(5))(sqrt(3)+1))/8 +((sqrt(6)-sqrt(2))(sqrt(5)-1))/16$

注：6,12,15,18,24,30,36,42,45,48,54,60,66,72,75的三角函数值已经在楼上给出，这里不再重复.

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13# -16#，总共29个公式中，总共用到6次浮点平方根运算,16次浮点乘法，以及若干次浮点加减法。

所有6个浮点平方根如下：
$sqrt(2)$,
$sqrt(3)$,
$sqrt(5)$,
$sqrt(6)$,
$sqrt(5+sqrt(5))$,
$sqrt(5-sqrt(5))$

所有16个浮点乘如下：
$sqrt(2)sqrt(5-sqrt(5))$,
$sqrt(2)sqrt(5+sqrt(5))$,
$sqrt(6)sqrt(5-sqrt(5))$,
$sqrt(6)sqrt(5+sqrt(5))$,
$sqrt(2)(sqrt(5)-1)$,
$sqrt(2)(sqrt(5)+1)$,
$sqrt(3)(sqrt(5)-1)$,
$sqrt(3)(sqrt(5)+1)$,
$sqrt(5-sqrt(5))(sqrt(3)-1)$,
$sqrt(5-sqrt(5))(sqrt(3)+1)$,
$sqrt(5+sqrt(5))(sqrt(3)-1)$,
$sqrt(5+sqrt(5))(sqrt(3)+1)$,
$(sqrt(6)-sqrt(2))(sqrt(5)-1)$,
$(sqrt(6)-sqrt(2))(sqrt(5)+1)$,
$(sqrt(6)+sqrt(2))(sqrt(5)-1)$,
$(sqrt(6)+sqrt(2))(sqrt(5)+1)$,