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有$N$枚硬币,它们抛到正面朝上的概率分别是$p_1$、$p_2$、……、$p_N$。
对$p_1$、$p_2$、……、$p_N$按照从小到大排序,结果记为$q_1$、$q_2$、……、$q_N$,即$q_1<q_2<...<q_N$。
我们现在只知道$q_1$、$q_2$、……、$q_N$是多少,不知道它们分别对应哪一枚硬币。
于是我们抛若干次硬币(每次都只选$1$枚来抛),根据每枚硬币的正(反)面朝上次数推断$N$个概率值$q_1$、$q_2$、……、$q_N$分别对应哪一枚硬币。
我们希望正确率达到$(1-\varepsilon)$($N$个概率值全部对上才算正确),并且抛硬币的次数尽可能少。
在已知$q_1$、$q_2$、……、$q_N$、$\varepsilon$,并采取最佳策略的前提下,抛硬币次数的期望值是可以求出来的,记为$E(q_1,q_2,...,q_N,\varepsilon)$。
当$\varepsilon$固定时(比如$50%$),$E(q_1,q_2,...,q_N,\varepsilon)$越大说明硬币组$q_1,q_2,...,q_N$越难区分。
请你找出最容易区分的硬币组。
即$q_1,q_2,...,q_N$等于多少时,$E(q_1,q_2,...,q_N,\varepsilon)$最小?
例如:
当$N=1$时,$q_1$等于多少都无所谓,最佳策略是不抛硬币,正确率为$100%$。
当$N=2,\varepsilon=50%$时,$q_1,q_2$也是等于多少都无所谓,最佳策略仍然是不抛硬币,正确率为$50%$。
当$N=2,\varepsilon->0$时,$q_1=0,q_2=1$最容易区分,只需抛$1$次硬币,正确率为$100%$。
当$N=3,\varepsilon->0$时,最容易区分的硬币组可能是$q_1=0,q_2=1/2,q_3=1$。
当$N>3$时,情况比较复杂,看谁给出的结果更有说服力。 |
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