立方数最小和问题

medie2005

呵呵,今天发贴量破记录了.

无心人

我也破单日发帖记录了吧

gxqcn

什么东西打破了大家反而都称好？（谜底为“纪录”，选中查看）

无心人

都喜欢灌水了啊

mathe

呵呵，其实也不难说
如果f(x)是一个n次多项式，那么对于任何常数c,
f(x+c)-f(x)是一个次数不超过n-1次的多项式
所以通过这种方法。对于一个长度为$2^(n+1)$的等差数列，我们必然能够构造出方法使得$f(x_i)$前面加上正负号后求和为0

mathe

一个挺有意思的结论
如果f(x)是n次多项式，那么
$sum_{k=0}^{2^{n+1}-1}(-1)^{"bits"(k)}f(x+k)=0$
其中$"bits"(k)$表示整数k的二进制表示中比特1的数目

mathe

关于立方数情况的程序以及计算结果如附件（金币一枚)
cubesum.tar.gz (1.38 KB, 下载次数: 9, 售价: 1 枚金币)

2008-5-1 16:26 上传

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无心人

受教受教

证明在哪里》

mathe

就是用25#的方法
比如$f_0(x)$是n次多项式
那么记$f_1(x)=f_0(x+1)-f_0(x)$,$f_1(x)$的次数不高于n-1次
同样记$f_2(x)=f_1(x+2)-f_1(x)=f_0(x+3)-f_0(x+2)-f_0(x+1)+f_0(x)$,那么$f_2(x)$的次数不高于n-2次
...
最后$f_n(x)=f_{n-1}(x+2^{n-1})-f_{n-1}(x)$,那么$f_n(x)$次数不高于0次，也就是$f_n(x)$是常数函数
所以$f_{n+1}(x)=f_n(x+2^n)-f_n(x)=(-1)^{n+1}sum_{k=0}^{2^{n+1}-1} (-1)^{"bits"(k)}f(x+k)=0$,

mathe

现在有一个猜想
如果记$u(n,k)$是$1^k,2^k,...,n^k$每个数前加正负号后求和结果绝对值的最小值，那么是否必然有
对于$n>=2^{k+1}-2$,必然有$u(n,k)<=1$