特殊的平方数

lsrong314

61*61＝3721；3*7＝21
68*68＝4624；4*6＝24
条件：（1）：前半段位数等于后半段位数；如：12*12＝144；1*4＝4这种格式不符合要求
（2）：前半段分成两小段后的位数也必需相同；如：1205330*1205330=1452820408900；145*2820=408900；这种格式也不符合要求；
（3）：前两段的乘积＝0的格式不行，如：90000*90000=8100000000；810*0＝0；这种格式不符合要求！
（4）这种格式也不符合要求：5025*5025=25250625；25*25＝625；因为乘积的位数是3位数，而两个因子的位数之和是4位，所以不符合要求！

这道题是别人问的，我给出了几个符合条件的解答：
60004320^2=3600518418662400，3600*5184 = 18662400
6000043200^2=36000518401866240000，36000*51840=1866240000
70006860^2=4900960447059600，4900*9604 = 47059600
7000068600^2=49000960404705960000,49000*96040=4705960000
7905745000^2=62500804005025000000,62500*80400=5025000000
这些解都有特殊的格式(平方数的开头是一个平方数后面补0)，0在里面起到了特殊的作用，可以写出很多这样的解。虽然符合条件，但是不好看。
一个比较好的例子是
8286653230^2=68668621754269432900，68668*62175=4269432900
但是后面依旧有0。一个后面没有0的例子是（注意这个解不符合条件1和2）
1784368202^2=3183969880308712804，3183*96988=308712804
问题是找到一个符合最开始的条件，且不能被10整除的解。

gxqcn

有点意思。
先说说，你是如何找到这么大的解的？

lsrong314

2# gxqcn


假如最小的那部分位数是r，他给的例子里r=1.
先化成x^2+10^5r=(10^3r+y)(10^2r+z).
然后解同余式x^2+10^5r=0(mod 10^3r+y)，其中y是r位数，x是2r位数。
得出有解的y，然后得到相应的x，再实验x是否满足要求。

mathematica

(*特殊的平方数,四位数部分*)
(*http://bbs.emath.ac.cn/redirect. ... o=lastpost#lastpost*)
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
(*这样的整数必然是完全平方数,因此使用穷举法*)
Do[ n=k^2;(*得到可能的整数*)
    nd=IntegerDigits@n;(*得到各个位上的数字组成的向量*)
    a=FromDigits@nd[[1;;1]];(*第一个乘数*)
    b=FromDigits@nd[[2;;2]];(*第二个乘数*)
    c=FromDigits@nd[[3;;4]];(*最后两位组成的乘数*)
    (*如果a*b=c,那么输出n和k*)
    If[a*b==c,Print@{k,n}],
{k,32,99}](*控制循环范围*)

mathematica

63452554^2=4026226609122916
4026*2266=09122916

mathematica

550000332750,302500,366025,110722562500,302500366025110722562500
550000332750^2=302500366025110722562500
302500*366025=110722562500

mathematica

600000432000,360000,518400,186624000000,360000518400186624000000

mathematica

650000549250,422500,714025,301675562500,422500714025301675562500

mathematica

700000686000,490000,960400,470596000000,490000960400470596000000

mathematica

上面的是所有的六位数的结果