三角函数求和

creasson · 发表于 2012-4-27 10:14:30

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试证明如下两式，(选自Mathematics by Experiment Plausible Reasoning in the 21th Century一书，作者：David Bailey&&Jornathan Borwein)

书中用数值计算方式给出了这个结果。
我的另一个问题是：试求出

wayne · 发表于 2012-4-27 15:23:52

这种题似乎可以一般化来看待：
假如x1,x2,x3,x4,......xn 是一元实系数n次方程的n个根。
求 x1^a + x2^a+ x3^a + ......+ xn^a
当a是整数的时候，可以确定能够精确表达出来。
当a是分数时，就不那么显然了

creasson · 发表于 2012-4-27 16:05:53

很好，思路对了

wayne · 发表于 2012-4-27 17:39:19

3# creasson
a是分数时，等效于
求一元m*n 次方程的其中m个根的和，这m个根的下标索引构成公差为n的等差数列

tian27546 · 发表于 2012-4-28 20:29:28

wayne · 发表于 2012-4-28 23:25:59

根据西西大侠的思路，我来练练手。
cos(2*k*Pi/11) 是方程 1 + 6 t - 12 t^2 - 32 t^3 + 16 t^4 + 32 t^5 =0 的五个根。
然后根据伟大定理，得到一个五元十次的方程组

wayne · 发表于 2012-4-29 11:25:43

6# wayne
太复杂了，用Mathematica，代码如下：

RootReduce[Total[Sqrt[Root[1 + 6 #1 - 12 #1^2 - 32 #1^3 + 16 #1^4 + 32 #1^5 &, #] & /@ Range[5]]]]

复制代码

算出来是

Root[563825025-773382112 #1^2+36577669088 #1^4+114001736064 #1^6+281803418048 #1^8-34973638144 #1^10-87430516224 #1^12+10977695744 #1^14+12837635584 #1^16-2562105344 #1^18-288940032 #1^20+40402944 #1^22-6701056 #1^24+12976128 #1^26+4063232 #1^28+524288 #1^30+65536 #1^32&,32]

复制代码

保留20位有效数字是
1.5617257106806089623 + 2.1660181708480968147 I

wayne · 发表于 2012-4-29 11:27:57

2# wayne
当a是分数时，
结果一定是代数数。

creasson · 发表于 2012-4-29 11:43:07

，强大的西神，事实上，可以利用牛顿公式做，不必像7Lwayne做的那样复杂还得不得简便结果，其结果可以一般化。

wayne · 发表于 2012-4-29 11:45:57

9# creasson
嗯，是说牛顿的几个齐次轮换对称式吧。
结合韦达定理，是可以一般化的

http://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_symmetric_polynomial
http://mathworld.wolfram.com/SymmetricPolynomial.html

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