2012.12 函数方程

Lwins_G

对于无穷可微函数$f:\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$，其在定义域内（除$x=1$外）皆满足如下函数方程：

$\frac{xf'(x)}{f(x)} = 2 - e + \frac{1}{\ln x} \ln \frac{f(x^e)}{f(x)}$

求所有可能的解。

282842712474

我只能想到$f(x)=ax$这个解

Lwins_G

我只能想到$f(x)=ax$这个解
282842712474 发表于 2012-12-14 18:57

嗯。这是比较直观的一个解。

wayne

这里面的ε 是常数么,可有说明?

Lwins_G

这里面的ε 是常数么,可有说明?
wayne 发表于 2012-12-14 20:16

常数，我尝试在TeX中使用\mathrm，但是失败了。

wayne

先做变量代换,  g(x) =lnf(x)
再做代换 x=e^t .  g(e^t)=p(t)
得到  
d( t*p(t))/dt = (2-e) t +p(ε t)

wayne

既然是无穷可微,那么可以用多项式级数表示p(t),待定系数.
发现p(t)的2次及以上的项的系数必须满足   (n+1)a_n = εⁿ a_n
因为ε是常熟,所以只可能是 a_n =0
于是$p(t) = C + {2-e}/{2-\epsilon}t$
代进 p(x)=ln(f(e^x)) 得到 $f(x) =c x^{{2-e}/{2-\epsilon}}$

ε 其实就是e吧,  如果是e, 那么答案就是 f(x) =cx了

wayne

晕,在firefox下看错了,

Lwins_G

既然是无穷可微,那么可以用多项式级数表示p(t),待定系数.
发现p(t)的2次及以上的项的系数必须满足   (n+1)an = εn an
因为ε是常熟,所以只可能是 an =0
于是p(t) = C + {2-e}/{2-\epsilon}t
代进 p(x)=ln(f(e^x ...
wayne 发表于 2012-12-15 09:51

思路很清晰，但须注意：在$\mathbb{R}_+$上无穷可微的函数不一定能在$x=0$处Taylor展开。（例如$f(x)=\frac{1}{x}$）
注：作变量代换后，因为只能判断$f(x)$在$x>1$时保号，所以$p(x)$的无穷可微范围缩小为$x>0$。
另：遇到看不清楚的公式可以Ctrl+滚轮放大之。

wayne

9# Lwins_G
我在4楼回帖的那个时候,是看错了,而不是看不清楚.
但你在5楼回复"常数".而不是纠正,说ε其实就是e.
所以,我在7楼的地方就权且当ε来算,最后做一下说明.
其实我可以编辑你的帖子,看"源代码"的.

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你说的没错.我7楼的回帖很有问题.