2012.12 函数方程

wayne

9# Lwins_G
本来单单就下面的这个方程来看,无穷可微函数 p(t)在其定义域 (-Infinity,+infinity) 内有解.
d( t*p(t))/dt = (2-e) t +p(e t)
则p(t) =c x
现在,楼主限制其定义域为 (0,+Infinity), 好对p(t)作一些变换,
f(x) =e^(p(lnx))  
最后,再扩充f(x)的值域到(-Infinity,+infinity).这整出这种问题了.

Lwins_G

9# Lwins_G
单单就下面的这个方程来看,无穷可微函数 p(t)在其定义域 (-Infinity,+infinity) 内有解.
d( t*p(t))/dt = (2-e) t +p(e t)
则p(t) =c x
现在,我们限制其定义域为 (0,+Infinity), 并对p(t)作一些 ...
wayne 发表于 2012-12-15 13:01

参见7L，确实可以不妨设$f(x)$在$x>1$时恒正（恒负与恒正没有本质区别），但是这时不能轻易推理至$x<1$。这是因为若要保证你的变换是实变换且保无穷可微性，则需提供$f((0,+\infty))>0$，但这不在条件之列。故而可以肯定的$p(x)$的无穷可微区间将缩小至$(0,+\infty)$。
一个可供理解用的例子是$f(x)=\ln x$（这并不是满足条件的$f$），显然其满足在$\mathbb{R}_+$上无穷可微。若作代换$p(t)=\ln f(e^t) = \ln t$，则$p(t)$并不如预期一般是在整个实轴上无穷可微的，须小心。

wayne

12# Lwins_G


我在11楼的措辞稍有改动.

Lwins_G

12# Lwins_G


我在11楼的措辞稍有改动.
wayne 发表于 2012-12-15 13:12

是的，参见我在11L的回贴。如此确实可以得到解，但是恐怕不能说明得到了全部的解。

wayne

14# Lwins_G
现在的问题就是: 微分方程的解是否在若干的变换过程中(定义域和值域会发生变化)保持其唯一性.
这方面可否有一般性的理论?

Lwins_G

14# Lwins_G
现在的问题就是: 微分方程的解是否在若干的变换过程中(定义域和值域会发生变化)保持其唯一性.
这方面可否有一般性的理论?
wayne 发表于 2012-12-15 13:58

我并不知晓这样的理论的存在。也许它确实存在，不过就本题而言，解答应该不需要使用什么过于特别或罕见的手法。

Lwins_G

Solution:
http://lwins.us/file/%5BDec%2020 ... thly%20Solution.pdf

wayne

17# Lwins_G
精彩！
这种构造的确保证了区间没有变化。
$f(x) = xe^{g(lnlnx)}$

wayne

17# Lwins_G
lwins.us 好像不能访问，服务器Down掉了？

Lwins_G

19# wayne

服务器有时不稳定 : |