如何求一个一元八次方程的符号解

chyanog

1. 256*x^8 + 1536*x^7 - 4608*x^6 + 768*x^5 + 1040*x^4 - 96*x^3 - 72*x^2 + 1 = 0
   

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这个方程是存在根式解的，而且都是实数，不知道这种特殊类型的方程该怎么解呢

hujunhua

令y=2x, 可以使系数变小

1. y^8+12y^7-72y^6+24y^5+65y^4-12y^3-18y^2+1=0

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用 Maxima试了一下，没解出来。

wayne

1# chyanog
符号解应该就是根式解吧。
该方程是不是根式可解应该可以用 可解群的概念 来解释证明。
至于具体怎么解出来，我也不知道，也很感兴趣

wayne

2# hujunhua
老大怎么玩起Maxima了，呵呵

wayne

2# hujunhua
受此启发，我们可以试试找出这样的一元二次方程 g(x), 以及一元四次方程 f(x)
使得 f(g(x)) =  x^8+12x^7-72x^6+24x^5+65x^4-12x^3-18x^2+1
或者 g(f(x)) =  x^8+12x^7-72x^6+24x^5+65x^4-12x^3-18x^2+1

数学星空

楼上的方法我已经试过了，不行哟。
例如：可以设
$y^8+12y^7-72y^6+24y^5+65y^4-12y^3-18y^2+1=(y^2+a*y+b)^4+m*(y^2+a*y+b)^3+n*(y^2+a*y+b)^2+p*(y^2+a*y+b)+q$…………（1）
$(-126-m-4*b)*y^6+(-84-9*m-36*b)*y^5+(65-m*(3*b+27)-n-2*b^2-72*b-(2*b+9)^2)*y^4+(-6*n-m*(18*b+27)-12*b^2-12*b*(2*b+9)-12)*y^3+(-n*(2*b+9)-2*b^2*(2*b+9)-36*b^2-p-m*(b*(2*b+9)+18*b+b^2)-18)*y^2+(-9*m*b^2-12*b^3-3*p-6*n*b)*y-m*b^3-n*b^2-p*b-q-b^4+1=0$............(2)
显然$-126-m-4*b=0, -84-9*m-36*b=0$不存在解
或许根式解与$cos(2*pi/17)$有关系！

wayne

6# 数学星空
恩，我试了也不行，汗...

wayne

6# 数学星空
我以为 也有可能是3个二次方程的复合，结果还是不行

wayne

6# 数学星空
$2 cos(2*pi/17)$的最小多项式是
1 - 4 x - 10 x^2 + 10 x^3 + 15 x^4 - 6 x^5 - 7 x^6 + x^7 + x^8

数学星空

你应该试试$a*cos(2*pi/17)+b$