如何求一个一元八次方程的符号解

wayne

62# wayne

这个恐怕是最简洁的非平凡的有根式解的8次方程了。
2 - 16 x - 40 x^2 - 32 x^3 - 4 x^4 + x^8=0
分解因式就是
$(x - a - a^2) (x + a - a^2) (x^2 + a^5x + a^2 + a^4 - a^7) (x^2 - a^5x + a^2 + a^4 + a^7) (x^2 + 2 a^2x+ a^2 + a^4) $
wayne 发表于 2013-1-20 21:04

哈哈，答案是一致的！！

wayne

呵呵，的确很神奇哟…………
是否能根式解的都能给出表达式吗？.
数学星空 发表于 2013-1-21 23:49

是的，不过表达起来有很多种，以某某根的形式表达吗
例如$2 - 16 x - 40 x^2 - 32 x^3 - 4 x^4 + x^8=0$ 的根用 x^8-2的根来表达，就如楼上所示

数学星空

其实这种表示更简洁，更能体现出结构的层次与对称性，这也算是一种艺术展示……。

wayne

83# 数学星空
gap里面东西真多，可惜我对有限域，群论不了解，不然这种根式解的问题可以信手拈来
还有axiom，我单位能访问其官网，在家不能访问，不然我也会一并尝试一下

zgg___

恩，gap是个好东东呀，它的效率比M高不少，而且数据结构的感觉也好，呵呵。不过我还没有学会它。
其实，做lz的题目或许是学习数域和群概念的非常好的实例和驱动，呵呵。

郭先抢

没意思，我觉得直接用matlab就可以得到数值解了。当然，只是我个人觉得没意思

郭先抢

软件再强大，那也是写软件的人牛，用软件的人永远比不上写软件的人

郭先抢

当然，这个只是我个人的观点

chyanog

1. 64*x^7 - 112*x^5 - 8*x^4 + 56*x^3 + 8*x^2 - 7*x - 1=0

复制代码

这个怎么样？

数学星空

$64*x^7-112*x^5-8*x^4+56*x^3+8*x^2-7*x-1=(x-1)*(2*x+1)*(32*x^5+16*x^4-32*x^3-12*x^2+6*x+1)$
其中$32*x^5+16*x^4-32*x^3-12*x^2+6*x+1$在域
$(-979/4+(275/4)*sqrt(5)+(55/4)*sqrt(-5+2*sqrt(5))+(495/4*I)*sqrt(5)/sqrt(5-2*sqrt(5)))^(1/5)$内可以分解